TÔ PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. quelle la grandeurs est regardée comme croissante, forme avecp un angle correspondant homologue à celui que fait Taxe x avec l’axe y, et les signes inférieurs sont relatifs au cas opposé. Nous prendrons cette direction en toutes les parties du contour de telle sorte que l’on ait
dx dy
ds dp ’
d’où
à y dx
ds dp*
ce qui ne nuit en aucun point essentiel à la généralité de nos résultats.
Nous pouvons encore évidemment étendre ce mode de détermination à des lignes situées à l’intérieur de T ; mais, dans ce cas, pour la détermination des signes de dp et ds, leur dépendance mutuelle étant fixée comme ci-dessus, il faut donner encore une indication pour fixer le signe soit de dp, soit de ds pour une ligne fermée, nous indiquerons quelle est celle des deux parties de surface qu’elle sépare dont elle doit être regardée comme le contour, ce qui détermine le signe de dp, et pour une ligne non fermée nous indiquerons quelle est l’origine de la ligne, c’est-à-dire quelle est l’extrémité en laquelle s a la plus petite valeur. L’introduction des valeurs obtenues pour cosÇ et cosyi dans l’équation démontrée dans le paragraphe précédent nous donne, dans les mêmes circonstances,
/(£ - ?) "--/(* ? -v I) * - /(* £ - * S) *■ § IX.
En appliquant la proposition qui conclut le paragraphe précédent au cas où l’on a
d_X àY
dx dy °
dans toutes les parties de la surface, l’on obtient les propositions suivantes :
1. — Lorsque X et Y sont deux fonctions finies, continues et
