FONCTIONS D’UNE GRANDEUR YARIABLE COMPLEXE. II nombre des sections transverses q de la surface T2 qui sont formées par les lignes q,, lJexpression 2/li — Vt — V3 -4- [J.
?
2
c’est-à-dire
rl 1 -4— S.
Or la surface Tt sera évidemment transformée par les n2-bs sections transverses q[^ en la même surface en laquelle sera décomposée T2 par l’effet des nx + s sections transverses q. Mais T{ est formée de mx morceaux simplement connexes et, par conséquent, en vertu du théorème I, est décomposée par n2s sections transverses en mx ~b n2 -4- s morceaux de surface ; il faudrait par suite, si m2 était ~b ^2—<lue Ie nombre des morceaux de surface T2 fût augmenté de plus de nt -h s par l’effet de nx-- s sections transverses, ce qui est absurde. Par suite de ce théorème, si le nombre indéterminé de sections transverses est désigné par n, et celui des morceaux par #z, le nombre n — m sera constant pour toutes les décompositions d’une surface en morceaux simplement connexes. En effet, considérons deux décompositions déterminées quelconques, l’une par l’effet de nt sections transverses en m{ morceaux, l’autre par l’effet de n2 sections transverses en m2 morceaux ; il faut alors, lorsque les premiers morceaux sont simplement connexes, que l’on ait
ni — m* ^ — tnv
et, lorsque les seconds morceaux sont simplement connexes, ni — mt < n2 — m2 i
par conséquent, lorsque ces deux circonstances ont lieu, l’on doit avoir
— ny — my.
Ce nombre pourra, à bon droit, être désigné sous le nom d’ordre de la connexion d’une surface ; Il sera diminué de 1 par l’effet de chaque section transverse, et cela par définition même ;
Il restera invariable par l’effet de toute coupure sectionnant
