La conception d’une telle variabilité, qui est relative à un domaine connexe à deux dimensions, est essentiellement facilitée si l’on s’appuie sur l’intuition géométrique.
Imaginons chaque valeur x -r-yi de la grandeur z représentée par un point O du plan A, dont les coordonnées rectangulaires sont x et y, et chaque valeur u -h iv de la grandeur w par un point Q du plan B, dont les coordonnées rectangulaires sont u et v. Toute relation de dépendance de la grandeur w de z sera représentée alors comme une relation de dépendance de la position du point Q de celle du point O. Lorsqu’à toute valeur de z correspond une valeur déterminée de w, variant d’une manière continue avec z, en d’autres termes u et ç sont-ils des fonctions continues de x et y7 alors à tout point du plan A correspond un point du plan B, à toute ligne, d’une manière générale, une ligne, à toute portion connexe de surface, une portion de surface également connexe. Par conséquent, l’on pourra se figurer cette dépendance de la grandeur w de z comme une représentation du plan A sur le plan B.
§ III.
II s’agit maintenant de rechercher de quelle propriété jouit cette représentation lorsque w est une fonction de la grandeur complexe z, c’est-à-dire lorsque ^ est indépendant de dz.
Nous désignerons par o un point indéterminé du plan A dans le voisinage de O, et son image sur le plan B par q, et ensuite par x + y i4- dx -h dy i, et par u--viy-du--dvi les valeurs des grandeurs z et w en ces points. Alors dx, dy et du, dv peuvent être regardées comme les coordonnées rectangulaires des points o et q relativement aux points O et Q pris comme origines ; et, si l’on pose dx + dyi — ee ?1 et du -f- dvi— les grandeurs e, <p, 7j, A seront les coordonnées polaires de ces points relativement à ces mêmes origines. Soient maintenant o' et o" deux positions quelconques déterminées du point o, infiniment voisines de O, et attribuons aux désignations respectives qui leur correspondent les mêmes lettres que précédemment, mais accentuées ; l’on a,
