rapports d’étendue, on pourrait concevoir différents rapports métriques ;
nous avons ensuite cherché les systèmes de déterminations
métriques simples, au moyen desquels les rapports métriques
de l’espace sont complètement déterminés, et dont toutes les
propositions concernant ces rapports sont des conséquences nécessaires.
Il nous reste maintenant à examiner comment, à quel
degré et avec quelle extension ces hypothèses sont confirmées par
l’expérience. À ce point de vue, il existe, entre les simples rapports
d’étendue et les rapports métriques, cette différence essentielle
que, dans les premiers, où les cas possibles forment une variété
discrète, les résultats de l’expérience ne sont, à la vérité, jamais
complètement certains, mais ne sont pas inexacts ; tandis que, dans
le second, où les cas possibles forment une variété continue,
toute détermination de l’expérience reste toujours inexacte,
quelque grande que puisse être la probabilité de son exactitude
approchée. Cette circonstance devient importante lorsqu’il s’agit
d’étendre ces déterminations empiriques au delà des limites de
l’observation, dans l’immensurablement grand ou dans l’immensurablement
petit ; car les seconds rapports peuvent évidemment
devenir de plus en plus inexacts, dès que l’on sort des limites de
l’observation, tandis qu’il n’en est pas de même des premiers.
Lorsqu’on étend les constructions de l’espace à l’immensurablement grand, il faut faire la distinction entre l’illimité et l’infini ; le premier appartient aux rapports d’étendue, le second aux rapports métriques. Que l’espace soit une variété illimitée de trois dimensions, c’est là une hypothèse qui s’applique dans toutes nos conceptions du monde extérieur, qui nous sert à compléter à chaque instant le domaine de nos perceptions effectives et à construire les lieux possibles d’un objet cherché, et qui se trouve constamment vérifiée dans toutes ces applications. La propriété de l’espace d’être illimité possède donc une plus grande certitude empirique qu’aucune autre donnée externe de l’expérience. Mais l’infinité de l’espace n’en est en aucune manière la conséquence ; au contraire, si l’on suppose les corps indépendants du lieu, et qu’ainsi l’on attribue à l’espace une mesure de courbure constante, l’espace serait nécessairement fini, dès que cette mesure de courbure aurait une valeur positive, si petite qu’elle fût. En prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, les directions
