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HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDEMENT À LA GÉOMÉTRIE.

parce qu’elles peuvent s’y appliquer par simple flexion, leurs rapports métriques intrinsèques demeurant invariables, et toutes les propositions qui concernent ces rapports, c’est-à-dire toute la planimétrie, continuant à subsister. Elles sont, au contraire, essentiellement non équivalentes à la sphère, qui ne peut pas se transformer sans extension en un plan. D’après la recherche précédente, les relations métriques intrinsèques, dans une grandeur à deux dimensions, lorsque l’élément linéaire peut s’exprimer par la racine carrée d’une expression différentielle du second degré, comme cela arrive dans les surfaces, sont caractérisées en chaque point par la mesure de courbure. On peut donner à cette quantité, dans le cas des surfaces, une interprétation sensible aux yeux, en établissant quel est le produit des deux courbures de la surface au point considéré, ou encore, que son produit par un triangle infiniment petit, formé de lignes de plus courte distance, est égal à la moitié de l’excès de la somme des angles de ce triangle, évalués en parties du rayon, sur deux angles droits. La première définition supposerait ce théorème, que le produit des deux rayons de courbure reste invariable lorsque la surface subit une simple flexion ; la seconde supposerait que, pour le même lieu, l’excès de la somme des angles d’un triangle infiniment petit sur deux angles droits est proportionnel à l’aire du triangle. Pour donner une représentation saisissable à la mesure de courbure d’une variété de $n$ dimensions en un point donné et suivant une direction superficielle donnée passant par ce point, il faut partir de ce qu’une ligne de plus courte distance, partant d’un point, est complètement déterminée, quand on donne sa direction initiale. D’après cela, on obtient une surface déterminée en prolongeant, suivant des lignes de plus courte distance, toutes les directions initiales partant du point donné et situées sur l’élément superficiel donné, et cette surface a, au point donné, une mesure de courbure déterminée, qui est en même temps la mesure de courbure de la variété de $n$ dimensions au point donné et suivant la direction superficielle donnée.