transformer une expression quelconque en une autre expression
quelconque ; car l’expression contient coefficients, qui sont
des fonctions arbitraires des variables indépendantes ; or, par l’introduction
de nouvelles variables, on ne pourra satisfaire qu’à
relations, et par suite on ne pourra égaler que des coefficients
à des quantités données. Les coefficients restants
sont alors complètement déterminés par la nature même de la
variété qu’il s’agit de représenter, et ainsi la détermination de
ses rapports métriques exige fonctions du lieu. Les variétés
dans lesquelles l’élément linéaire peut, comme dans le plan
et dans l’espace, se ramener à la forme , ne forment donc
qu’un cas particulier des variétés que nous étudions ici ; elles méritent
un nom spécial, et j’appellerai, en conséquence, les variétés
dans lesquelles le carré de l’élément linéaire peut se ramener à
une somme de carrés de différentielles complètes, variétés planes.
Pour pouvoir maintenant passer en revue les diversités essentielles
de toutes les variétés susceptibles d’être représentées sous la
forme considérée, il est nécessaire de laisser de côté les diversités
provenant du mode de représentation, et l’on y parvient en choisissant
les grandeurs variables d’après un principe déterminé.
À cet effet, imaginons que, à partir d’un point donné, on ait construit le système des lignes de plus courte distance qui passent par ce point ; la position d’un point indéterminé pourra être fixée alors au moyen de la direction initiale de la ligne de plus courte distance sur laquelle il se trouve, et de sa distance comptée sur cette ligne à partir de l’origine et, par conséquent, elle pourra s’exprimer au moyen des rapports des quantités sur cette ligne de plus courte distance, et au moyen de la longueur s de cette ligne. Introduisons maintenant, au lieu de , des expressions linéaires , formées avec ces quantités, et telles que la valeur initiale du carré de l’élément, soit égale à la somme des
