admises, l’élément linéaire pourra être une fonction homogène
quelconque du premier degré des quantités qui restera invariable
lorsqu’on changera les signes de toutes les quantités et
dans laquelle les constantes arbitraires seront des fonctions continues
des quantités . Pour trouver les cas les plus simples, je
chercherai d’abord une expression pour les variétés de dimensions
qui sont partout équidistantes de l’origine de l’élément
linéaire ; c’est-à-dire que je chercherai une fonction continue du
lieu qui les distingue les unes des autres. Cette fonction devra ou
croître ou décroître dans toutes les directions à partir de l’origine ;
j’admettrai qu’elle croisse dans toutes les directions, et qu’ainsi elle
ait un minimum à l’origine. Il faut alors, si ses quotients différentiels
du premier et du second ordre sont finis, que la différentielle
du premier ordre s’annule, et que celle du second ordre ne devienne
jamais négative ; j’admettrai qu’elle reste toujours positive. Cette
expression différentielle du second ordre reste donc constante,
lorsque reste constant, et croît dans le rapport des carrés,
lorsque les quantités et par suite aussi varient toutes
ensemble dans un même rapport ; elle est donc
et par conséquent la racine carrée d’une fonction entière
homogène du second degré, toujours positive, des quantités
dans laquelle les coefficients sont des fonctions continues des
quantités Pour l’espace, si l’on exprime la position du point
en coordonnées rectangulaires, on a l’espace est
donc compris dans ce cas le plus simple de tous. Le cas le plus
simple après celui-là comprendrait les variétés dans lesquelles
l’élément linéaire serait exprimé par la racine quatrième d’une
expression différentielle du quatrième degré. L’étude de cette
classe plus générale n’exigerait pas des principes essentiellement
différents, mais elle prendrait un temps assez considérable, et ne
contribuerait pas beaucoup, relativement, à éclaircir la théorie de
l’espace, d’autant plus que les résultats ne pourraient s’exprimer
géométriquement. Je me bornerai donc aux variétés dans lesquelles
l’élément linéaire est exprimé par la racine carrée d’une
expression différentielle du second degré. Une telle expression
peut être transformée en une autre semblable, en remplaçant les
variables indépendantes par des fonctions de nouvelles variables
indépendantes. Mais on ne pourra pas, par ce moyen,
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HYPOTHÈSES QUI SERVENT DE FONDEMENT À LA GÉOMÉTRIE.