superposition de grandeurs à comparer ; il faut donc, pour mesurer,
avoir un moyen de transporter la grandeur qui sert d’étalon
de mesure pour les autres. Si ce moyen manque, on ne pourra
alors comparer entre elles deux grandeurs, que si l’une d’elles
est une partie de l’autre, et encore, dans ce cas, ne pourra-t-on
décider que la question du plus grand ou du plus petit, et non
celle du rapport numérique. Les recherches auxquelles un tel cas
peut donner lieu forment une branche générale de la théorie des
grandeurs, indépendante des déterminations métriques, et dans
laquelle elles ne sont pas considérées comme existant indépendamment
de la position, ni comme exprimables au moyen d’une
unité, mais comme des régions dans une variété. De telles
recherches sont devenues nécessaires dans plusieurs parties des
Mathématiques, notamment pour l’étude des fonctions analytiques
à plusieurs valeurs, et c’est surtout à cause de leur imperfection
que le célèbre théorème d’Abel, ainsi que les travaux de Lagrange,
de Pfaff, de Jacobi sur la théorie générale des équations différentielles,
sont restés si longtemps stériles. Dans cette branche générale
de la théorie des grandeurs étendues, où l’on ne suppose rien
de plus que ce qui est déjà renfermé dans le concept de ces grandeurs,
il nous suffira, pour notre objet actuel, de porter notre
étude sur deux points, relatifs : le premier, à la génération du concept
d’une variété de plusieurs dimensions ; le second, au moyen
de ramener les déterminations de lieu dans une variété donnée à
des déterminations de quantité, et c’est ce dernier point qui doit
faire clairement ressortir le caractère essentiel d’une étude de
dimensions.
Étant donné un concept dont les modes de détermination forment une variété continue, si l’on passe, suivant une manière déterminée, d’un mode de détermination à un autre, les modes de détermination parcourus formeront une variété étendue dans un seul sens, dont le caractère essentiel est que, dans cette variété, on ne peut, en partant d’un point, s’avancer d’une manière continue
