226 DEUXIÈME PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS APRÈS LA MORT DE RIEMANN. de les représenter par des séries trigonométriques. Le rapprochement de ces résultats m’a permis de mettre à profit quelques indications de l’illustre géomètre (*) à qui l’on doit le premier travail sur cet objet. Dans la seconde, je soumets la représentation d’une fonction par une série trigonométrique à un examen qui embrasse des cas qui n’ont pas encore été traités jusqu’ici. Il a etc nécessaire de faire précéder cette étude d’une courte Note sur la notion d’intégrale définie, et sur l’étendue dans laquelle cette notion est applicable.
Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonométrique d’une fonction donnée arbitrairement. § I
Les séries trigonométriques, ainsi appelées par Fourier, c’est-à-dire les séries de la forme
tii sina ? -h a2 sin aa ; -f- a3 sïn 3 a ? -f- . . . -h cosoc — ù2 cos 22 ? -+- b3 cos Sx -h . . . , jouent un rôle considérable dans la partie des Mathématiques où l’on rencontre des fonctions entièrement arbitraires ; on est même fondé à dire que les progrès les plus essentiels de cette partie des Mathématiques, si importante pour la Physique, ont été subordonnés à la connaissance plus exacte de la nature de ces séries. ès les premières recherches mathématiques qui ont conduit à la considération des fonctions arbitraires, s’est posée la question de savoir si une fonction entièrement arbitraire pouvait se représenter par une série de la forme ci-dessus. Cette question a pris naissance vers le milieu du siècle précédent, à l’occasion des recherches sur les cordes vibrantes, dont s’occupaient alors les plus célèbres géomètres. Il serait difficile d’exposer leurs vues sur ce sujet sans entrer dans les détails du problème.
(’) Lejcune-Dirichlet.
