ticiens. Il est intéressant, à ce point de vue, de lire les traités les plus récents publiés en France[1].
La troisième grande catégorie de fonctions dont j’ai parlé embrasse les lois de dépendance qui se rattachent à la série hypergéométrique de Gauss. Dans une signification plus large, ce sont les fonctions qui peuvent être définies à l’aide d’équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Sur ce sujet, Riemann, pendant sa vie, a publié seulement un premier travail (1856) qui s’occupe du cas hypergéométrique même et qui démontre, d’une façon tout à fait extraordinaire, comment toutes les remarquables propriétés déjà connues de la fonction hypergéométrique peuvent, sans aucun autre calcul, se déduire du mode d’existence de la fonction, lors de circuits décrits autour des points critiques. Nous savons aujourd’hui, par ses manuscrits posthumes, sous quelle forme analogue il pensait aborder la théorie générale des équations différentielles linéaires d’ordre : ici aussi le groupe des substitutions linéaires qu’admettent les solutions, lors de circuits décrits autour des points critiques, tient la première place et fournit la principale caractéristique servant à la classification.
Le principe de cette méthode, qui correspond à un certain point au traitement des intégrales abéliennes par Riemann, n’a pas encore été appliqué complètement de la manière toute générale qu’avait en vue celui-ci. Les nombreuses recherches sur les équations différentielles, publiées par les autres géomètres depuis trente ans, n’ont encore assemblé que quelques portions de cette théorie. On doit, en particulier, citer à ce point de vue les recherches de Fuchs.
Du reste, cette théorie, tant qu’on s’en tient aux équations différentielles linéaires du second ordre, est susceptible d’interprétation géométrique simple. On est amené à y considérer la représentation conforme du champ d’évolution de la variable in-
- ↑ Voir Picard, Traité d’Analyse, t. I, II, III, parus ; 1893-1894-1895. — Appell et Goursat, Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales, avec Préface de M. Hermite ; 1894. Paris, Gauthier-Villars et fils. — (F. Klein).
