Riemann relatifs aux intégrales, aussi bien que les conclusions relatives aux fonctions algébriques, d’une manière des plus claires, en considérant des courants permanents d’un fluide, disons des courants électriques, sur des surfaces fermées quelconques situées dans l’espace. Mais tout ceci n’a trait qu’à la première partie du travail de Riemann. La seconde partie, qui se rapporte aux séries thêta, est peut-être encore plus remarquable. On y arrive à ce merveilleux résultat, que les séries thêta qu’exige pour sa résolution le problème jacobien de l’inversion ne sont pas les séries thêta les plus générales ; et il se présente alors cette nouvelle question : déterminer le rôle des séries générales thêta dans cette théorie.
D’après une remarque de M. Hermite, Riemann connaissait déjà le théorème publié plus tard par Weierstrass, et qu’ont traité dernièrement Picard et Poincaré, théorème qui fait voir que les séries thêta suffisent pour la représentation des fonctions périodiques les plus générales de plusieurs variables.
Mais je ne puis ici entrer dans plus de détails sur ces questions.
Donner un exposé du développement qui a suivi les fonctions abéliennes de Riemann serait chose d’autant plus hasardeuse que les recherches étendues de Weierstrass sur le même sujet ne sont encore connues que par quelques cahiers de leçons des cours de ce grand géomètre. Je m’en tiendrai encore à cette seule remarque que l’important ouvrage de Clebsch et Gordan, qui parut en 1866, tendait essentiellement à démontrer les résultats de Riemann, en les rattachant à la Géométrie analytique et à l’étude des courbes algébriques. Les méthodes de Riemann furent à cette époque comme une espèce d’arcane mystérieux appartenant à ses élèves directs, et elles furent regardées d’abord avec défiance par les autres mathématiciens. Mais aujourd’hui, je dois encore le répéter, comme je l’ai déjà fait à propos des courbes, les progrès de la Science ont amené nécessairement toutes les méthodes de Riemann à faire partie intégrante du domaine commun à tous les mathéma-
