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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

[2] (p. 171). L’énoncé de ce théorème manque de rigueur. Les deux équations traitées séparément comme il est indiqué, les limites d’intégration $0,\infty$ se rapportant à $\log x$, donnent

$\pi y^{-\alpha }\left[h(y)\pm h\left({\frac {1}{y}}\right)\right]$,

et, par conséquent, fournissent en premier lieu par leur somme la formule du texte.

[3] (p. 173). La fonction $\operatorname {Li} (x)$ doit être définie pour les valeurs réelles de $x$ qui sont plus grandes que 1 par l’intégrale

$\int _{0}^{x}{\frac {dx}{\log x}}\pm \pi i$

où l’on doit prendre le signe supérieur ou bien le signe inférieur, selon que l'intégration est prise relativement à des valeurs complexes dans le sens positif ou bien dans le sens négatif. De là l’on déduit aisément le développement donné par Scheibner (Schlömilch’s Zeitschrift, t. V)

$\operatorname {Li} (x)=\log \log x-\Gamma '(1)+\sum _{1,\infty }^{x}{\frac {(\log x)^{n}}{n.n!}}$,

qui est valable pour toutes les valeurs de $x$, et présente une discontinuité pour les valeurs réelles négatives (comparer la correspondance entre Gauss et Bessel).

Si l’on poursuit le calcul indiqué par Riemann, on trouve dans la formule $\log {\tfrac {1}{2}}$ au lieu de $\log \xi (0)$. Il est très possible que ceci ne soit qu’un lapsus calami, ou une faute d’impression, $\log \xi (0)$ au lieu de $\log \zeta (0)$ ; en effet, $\log \zeta (0)={\tfrac {1}{2}}$.