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NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.
NOTES.
Dans une lettre, dont le brouillon existe dans les papiers laissés par Riemann, on lit, après la Communication du résultat de son travail, la remarque suivante :
« … Je n’ai pas encore complété la démonstration… et, à ce propos, je dois faire remarquer que les deux théorèmes que je n’ai fait qu’énoncer ici :
» Entre et sont situées environ racines réelles de l'équation , et
» La série, lorsque les termes en sont rangés suivant l'ordre croissant des , tend vers la même limite que l'expression
,
lorsque la grandeur croit sans limites,
sont des conséquences d’un nouveau développement de la fonction que je n’ai pas encore suffisamment simplifié pour pouvoir vous le communiquer. »
Malgré maintes recherches subséquentes (Scheibner, Piltz, Stieltjes), les obscurités de cette question n’ont pas encore été complètement éclaircies.
[1] (p. 166). Ce mode d’existence de la fonction se reconnaît en se servant de la seconde forme de cette fonction
et en remarquant, en outre, que , dans le développement suivant les puissances ascendantes de , ne contient que des puissances impaires.