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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

croît très rapidement lorsque $x$ croît,

${\frac {1}{\log x}}-2\sum _{\alpha }{\frac {\cos(\alpha \log x)x^{-{\frac {1}{2}}}}{\log x}}$,

fournit une expression approchée pour la densité des entiers premiers $+$ la moitié de la densité des carrés, $+$ le tiers de celle des cubes, $+\dots$ des entiers premiers inférieurs à $x.$

La formule approchée connue $\mathrm {F} (x)=\operatorname {Li} (x)\,$ n’est, par conséquent, exacte qu’aux grandeurs près de l’ordre de $x^{\frac {1}{2}}$ et fournit une valeur un peu trop grande ; car les termes non périodiques^[1] dans l’expression de $\mathrm {F} (x)$ sont, abstraction faite de grandeurs qui ne croissent pas indéfiniment avec $x,$

$\operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} \left(x^{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} \left(x^{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{5}}\operatorname {Li} \left(x^{\frac {1}{5}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} \left(x^{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{7}}\operatorname {Li} \left(x^{\frac {1}{7}}\right)+\ldots$

Du reste, la comparaison, entreprise par Gauss et Goldschmidt^[2], de $\operatorname {Li} (x)\,$ avec le nombre de nombres premiers inférieurs à $x$ et poursuivie jusqu’à $x=$ trois millions a révélé que ce nombre, à partir de la première centaine de mille, est toujours inférieur à $\operatorname {Li} (x)\,$ et que la différence des valeurs, soumises à maintes oscillations, croît néanmoins toujours avec $x$^[3]. Mais la fréquence et la réunion plus dense par endroits des nombres premiers, si l’on peut s’exprimer ainsi, sous l’influence des termes périodiques, avaient déjà attiré l’attention, lors du dénombrement des nombres premiers, sans que l’on eût aperçu la possibilité d’établir une loi à ce sujet.

Il serait intéressant dans un nouveau dénombrement, d’étudier l’influence de chaque terme périodique contenu dans l’expression donnée pour la totalité des nombres premiers. Une marche plus régulière que celle donnée par $\mathrm {F} (x)\,$ serait obtenue à l’aide de la fonction $f(x)\,$ qui, cela se reconnaît déjà très évidemment dans la première centaine, coïncide en moyenne avec $\operatorname {Li} (x)+\log \xi (0)\,$.

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1. Note H.M.E. —En toute rigueur, les termes $Li(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i})$ ne sont pas périodiques mais oscillatoires.
2. Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt (1807–1851), un élève de Gauss.
3. Lettre de Carl Friedrich Gauss à Johann Franz Encke (1791–1865) du 24 décembre 1849.