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NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.
où l’intégration doit être prise de telle sorte que la partie réelle de
reste constante[1].
Cette intégrale représente, pour une valeur de
pour laquelle
a lieu une variation par saut brusque de la fonction, la valeur moyenne des valeurs de la fonction
de chaque côté du saut.
Avec les modes de détermination exposés ci-dessus, la fonction
possède cette même propriété, et l’on a donc, d’une manière
générale,
![{\displaystyle f(y)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {\log \zeta (s)}{s}}y^{s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789559c2ee4efb7e29696f8b59dae5950d12e08b)
.
On peut maintenant substituer à
, l’expression trouvée précédemment
[2]
Mais les intégrales de chaque terme de cette expression, prises
jusqu’à l’infini, ne convergent pas ; il sera donc convenable de
transformer l’équation précédente à l’aide d’une intégration par
parties en
![{\displaystyle f(x)=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d{\frac {\log \zeta (s)}{s}}}{ds}}x^{s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf90322c867bb381fafb757994c4020484035dca)
Comme
![{\displaystyle -\log \prod {\frac {s}{2}}=\lim \left[\sum _{n=1}^{n=m}\log \left(1+{\frac {s}{2n}}\right)-{\frac {s}{2}}\log m\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df73543bde2c6d68909b9e08e075ea9ca040a0c)
,
pour
, et que, par suite
![{\displaystyle -{\frac {d{\frac {1}{s}}\log \prod \left({\frac {s}{2}}\right)}{ds}}=\sum _{1}^{\infty }{\frac {d{\frac {1}{s}}\log \left(1+{\frac {s}{2n}}\right)}{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49a4177a753a074c88f68eb1efd9fe2f0107a46)
,
tous les termes de l’expression de
, à l’exception de
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {1}{s^{2}}}\log \xi (0)x^{s}ds=\log \xi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3a846953e055eca59881626962d758f4a234be)
,
prennent alors la forme
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{\log x}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {d\left[{\frac {1}{s}}\log \left(1-{\frac {s}{\beta }}\right)\right]}{ds}}x^{s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906b5b18c4e62d5327066008b0d7bc44dd10e13a)
.
- ↑ Note du trad. L’énoncé de ce théorème manque de rigueur. Les deux équations traitées séparément comme il est indiqué, les limites d’intégration
se rapportant à
, donnent
![{\displaystyle \pi y^{-\alpha }\left[h(y)\pm h\left({\frac {1}{y}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5676d49f4f57f7cb96550070fbd2415edf3c274)
,
et, par conséquent, fournissent en premier lieu par leur somme la formule du texte.
- ↑ Note de Wikisource : Le manuscrit (p. 4) et les Gesammelte Werke (p. 141) introduisent encore un
devant l’avant-dernier logarithme. Dans les Monatsberichte le signe somme manque :
![{\displaystyle {\frac {s}{2}}\log \pi -\log(s-1)-\log \prod {\frac {s}{2}}+\log \left(1+{\frac {(s-{\frac {1}{2}})^{2}}{\alpha \alpha }}\right)+\log \xi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b115369194fd1935da02fa0298c318895e7438)