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NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.
où l’intégration doit être prise de telle sorte que la partie réelle de reste constante[1].
Cette intégrale représente, pour une valeur de pour laquelle
a lieu une variation par saut brusque de la fonction, la valeur moyenne des valeurs de la fonction de chaque côté du saut.
Avec les modes de détermination exposés ci-dessus, la fonction possède cette même propriété, et l’on a donc, d’une manière
générale,
.
On peut maintenant substituer à , l’expression trouvée précédemment
[2]
Mais les intégrales de chaque terme de cette expression, prises
jusqu’à l’infini, ne convergent pas ; il sera donc convenable de
transformer l’équation précédente à l’aide d’une intégration par
parties en
Comme
,
pour , et que, par suite
,
tous les termes de l’expression de , à l’exception de
,
prennent alors la forme
.
- ↑ Note du trad. L’énoncé de ce théorème manque de rigueur. Les deux équations traitées séparément comme il est indiqué, les limites d’intégration se rapportant à , donnent
,
et, par conséquent, fournissent en premier lieu par leur somme la formule du texte.
- ↑ Note de Wikisource : Le manuscrit (p. 4) et les Gesammelte Werke (p. 141) introduisent encore un devant l’avant-dernier logarithme. Dans les Monatsberichte le signe somme manque :