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NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.

grandeurs qui contient toutes les grandeurs complexes restantes, car l’intégrale, pour des valeurs dont le module est infiniment grand est alors infiniment petite. Mais, à l’intérieur de ce domaine, la fonction sous le signe d’intégration ne devient discontinue que lorsque $x$ est égal à un multiple entier de $\pm 2\pi i$ et l’intégrale, par conséquent, est égale à la somme des intégrales prises dans le sens négatif autour de ces valeurs. Mais l’intégrale relative à la valeur $n2\pi i\,$ égale $(-n2\pi i)^{s-1}(-2\pi i)$ ; on obtient donc

2\sin \pi s\prod (s-1)\zeta (s)=(2\pi )^{s}\sum n^{s-1}\left[(-i)^{s-1}+i^{s-1}\right]

,

c’est-à-dire une relation entre $\zeta (s)$ et $\zeta (1-s)$ qui, en vertu de propriétés connues de la fonction $\prod$ peut aussi s’exprimer ainsi : la quantité

\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)

reste inaltérée lorsque $s$ est remplacé par $1-s$ .

Cette propriété de la fonction m’a engagé à introduire, au lieu de l’intégrale $\prod (s-1)$ , l’intégrale $\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)$ dans le terme général de la série $\sum {\frac {1}{n^{s}}}$ , ce qui fournit une expression très commode de la fonction $\zeta (s)$ . On a en effet

{\frac {1}{n^{s}}}\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}x^{{\frac {s}{2}}-1}dx{\text{ }}

,

et, par conséquent, si l’on pose

\sum _{1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}=\psi (x)

,

on a

\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}dx

;

ou bien, puisque

2\psi (x)+1=x^{-{\frac {1}{2}}}\left[2\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+1\right]

^[1],

↑ Riemann se réfère à Carl Gustav Jacob Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg 1829, p. 184, § 65, Nr. 6. La formule utilisée n’est pas donnée ici explicitement ; Jacobi la déduit à un autre endroit dans Suite des notices sur les fonctions elliptiques., in Journal de Crelle 3 (1828), p. 303-310. GDZ, français

[1] Riemann se réfère à Carl Gustav Jacob Jacobi, Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. Königsberg 1829, p. 184, § 65, Nr. 6. La formule utilisée n’est pas donnée ici explicitement ; Jacobi la déduit à un autre endroit dans Suite des notices sur les fonctions elliptiques., in Journal de Crelle 3 (1828), p. 303-310. GDZ, français

[1]