facile de trouver pour la fonction une expression qui reste toujours valable.
En faisant usage de l’équation
on obtient d’abord
Si maintenant l’on considère l’intégrale
prise dans le sens positif de à et autour d’un domaine
de grandeurs qui contient à son intérieur la valeur 0, mais qui ne
contient aucune autre valeur de discontinuité de la fonction sous
le signe d’intégration, on obtient aisément pour la valeur de cette intégrale
en faisant l’hypothèse que, dans la fonction multiforme
le logarithme de est déterminé de telle sorte qu’il soit réel
pour négatif. On aura donc
l’intégrale étant définie de la manière indiquée ci-dessus.
Cette équation donne maintenant la valeur de la fonction pour chaque valeur complexe de et nous enseigne que cette fonction est uniforme, qu’elle est finie pour toutes les valeurs finies de , sauf 1, et aussi qu’elle s’évanouit lorsque est égal à un entier pair négatif[1].
Lorsque la partie réelle de est négative, l’intégrale, au lieu d’être prise dans le sens positif autour du domaine de grandeurs assigné, peut être prise dans le sens négatif autour du domaine de
- ↑ [Note du trad.] Ce mode d’existence de la fonction se reconnaît en se servant de la seconde forme de cette fonction
et en remarquant, en outre, que , dans le développement suivant les puissances ascendantes de , ne contient que des puissances impaires.