Page:Riemann - Œuvres mathématiques, trad Laugel, 1898.djvu/201

---

SUR

LE NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS

INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.

---

Monatsberichte der Berliner Akademie, novembre 1859.
Œuvres de Riemann, 2^e  édition, pages 145-155.

---

Je ne crois pouvoir mieux exprimer mes remerciements à l’Académie pour la distinction à laquelle elle m’a fait participer en m’admettant au nombre de ses Correspondants qu’en faisant immédiatement usage du privilège attaché à ce titre pour lui communiquer une étude sur la fréquence des nombres premiers. C’est un sujet qui, par l’intérêt que Gauss et Dirichlet lui ont voué pendant de longues années, ne me semble peut-être pas indigne de faire l’objet d’une telle Communication.

Je prendrai pour point de départ dans cette étude la remarque faite par Euler^[1] que le produit

$\prod {\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\sum {\frac {1}{n^{s}}}$,

lorsque $p$ prend pour valeur tous les nombres premiers et $n$ tous les nombres entiers. La fonction de la variable complexe $s$, qui sera représentée par ces deux expressions, tant qu’elles convergent, je la désignerai par $\zeta (s)\,$. Toutes deux ne convergent qu’autant que la partie réelle de $s$ est supérieure à 1. Néanmoins il est

1. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum. Bd. 1. Lausanne 1748, p. 221-252, ch. 15 (De Seriebus ex evolutione Factorum ortis).