J64 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. relatives aux %p—i nœuds du réseau de sections transverses (§ III), chacune contribuant à la valeur 2“. L’on obtient ainsi la relation w — 2 n = 2 (p — i ),
formule dont la proposition qui commence le § VII est la traduction. Une démonstration de ce théorème où il n’est fait aucun usage du principe de Dirichlet, et où il est fait surtout complètement abstraction de toutes relations métriques, a été donnée par C. Neumann ( Vorlesungen über Riemann’s Théorie der Abelschen Integrale) Chap. VU, § 8, 2e édition, Leipzig, Teubner ; 1884).
[3] (p. 159). La marche des idées et les théories exposées dans ce § XXV ont été plus tard poursuivies et perfectionnées par J. Thomae (Journal de C relie, t. 66, 71, 75) ; Fuchs (Ibidt. 73) et Félix Klein (Matheniatische Annalen, t. 36).
[4-J (p. 162). L’on peut encore faire quelques remarques sur la forme des fonctions algébriques f :
Lorsque n est le plus petit dénominateur commun des grandeurs et la nltMnc puissance de y est une fonction uniforme aussi bien de (s,z) que de tous Jes couples de grandeurs (a, £), et, par suite, f est racine n’vmc d’une fonction rationnelle. Cette fonction rationnelle doit être déterminée comme fonction de (sfz), de telle sorte qu’elle soit infinie du ordre pour les p couples de grandeurs (a, Ç), et que, parmi les np points pour lesquels elle devient infiniment petite, n d’entre eux soient coïncidents. Alors l étant une fonction quelconque de (s, z), qui éprouve sur les sections transverses l’adjonction des mêmes facteurs que la fonction f, et Xjj, désignant la valeur de cette fonction pour le couple de valeurs ( Çjjl), la fonction f. /-1 Xt X2... Xp est une fonction rationnelle p de (s. z) et de toutes les grandeurs (<r, Ç), et l’on a, par conséquent, f== P[
X|X2... p
[Cette dernière Note a été tirée du brouillon ou première esquisse du précédent Mémoire trouvé dans les papiers laissés par Riemann.]
