THÉORIE DES FONCTIONS REPRÉSENTAS LES PAR LA SÉRIE DE GAUSS. 87 ANNONCE DU PRÉCÉDENT MÉMOIRE PUBLIÉE PAR L’AUTEUR LUI-MÉME dans LES Gôttinger Nachrichten, n° 1 ; 1857. Œuvres de Riemann, 2e édition, page 84. Le 6 novembre 1856 a été présenté à la Société Royale, par l’un de ses membres, le Dr Riemann, un essai mathématique renfermant nne Contribution à ia théorie des fonctions représentables par la série de Gauss F(a, p, y, x). Ce Mémoire traite d’une classe de fonctions dont il est fait usage pour résoudre des problèmes divers de Physique mathématique.
Les séries que l’on forme à l’aide de ces fonctions remplissent dans des problèmes plus difficiles le même but que, dans des cas plus simples, les séries employées aujourd’hui si fréquemment, qui procèdent suivant les cosinus et sinus des multiples d’une grandeur variable.
Ces applications, et notamment les applications astronomiques, après qu’Euler déjà se fut souvent occupé de ces fonctions au point de vue de l’intérêt théorique, paraissent avoir conduit Gauss à entreprendre ses recherches, dont il publia une partie dans le Mémoire sur la série qu’il désigne par F(a, [3,y,.r), présenté par lui à la Société Royale, en 1812.
Celte série est une série où le quotient du [n -f- 2)iàme terme par le précédent donne
(» + «)(» + ?) æ
(n -h 1 )(n -h y ) ’ ’
et où le premier terme est égal à 1. La désignation qu’on lui donne aujourd’hui, de série hyper géométrique, a été déjà proposée antérieurement par Johann Friedrich Pfafï pour ces séries p1 us générales, où le quotient d’un terme par le précédent donne une fonction rationnelle de l’indice ; tandis qu’Euler d’après Wallis désigna ainsi une série où ce quotient est une fonction entière du premier degré de l’indice.
