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tée, $y$ pour l’illimitée, on établira la correspondance par la relation

$y={\tfrac {1}{x}}-1$, ou $x={\tfrac {1}{y+1}}$

c’est-à-dire par une opération évidemment à sens unique.

Mais ce que M. Cantor a établi d’une façon irréfutable, et qui semble à première vue un pur paradoxe, c’est que l’ensemble des points de la droite limitée est équivalent à celui de tous les points du plan, à celui de tous les points de l’espace à trois dimensions, et même à celui de tous les points d’un espace à n dimensions.

Il est facile, par une opération analogue à celle que nous avons indiquée tout à l’heure, de faire correspondre, point par point, tous les points de l’espace à trois dimensions par exemple, avec ceux d’un cube limité, soit de côté égal à l’unité. Voici maintenant un procédé insuffisamment rigoureux pour les démonstrations de M. Georg Cantor, mais qui permet de comprendre comment on peut établir la correspondance entre les points de l’espace cubique et ceux de la ligne droite limitée.

Les points de l’espace cubique peuvent être supposés déterminés par trois coordonnées $x,y,z$, suivant les trois arêtes ; chacune de ces coordonnées étant plus petite que l’unité, le point sur la ligne droite sera de même déterminé par la distance u à l’origine, cette distance étant plus petite que l’unité.

Une valeur u étant donnée par une fraction décimale illimitée, on formera comme suit les fractions décimales qui seront les valeurs correspondantes de $x,y,z$ et détermineront le point dans l’espace ; on prendra pour les chiffres décimaux successifs de $x$, le premier, le quatrième, le septième chiffre, etc., de la valeur de u ; pour les chiffres décimaux successifs de $y$, le second, le cinquième, le huitième chiffre, etc., de u ; pour ceux de $z$, le troisième, le sixième, le neuvième, etc., de u ; le point correspondant de l’espace sera ainsi déterminé sans ambiguïté. Si ce point au contraire est donné par les valeurs de $x,y,z$, on formera la valeur de u suivant la règle inverse.

Du théorème établi par M. G. Cantor, on déduit facilement cette conclusion : que si on appelle ensemble linéaire tout ensemble imaginable de quantités réelles, distinctes entre elles et en nombre infini, tous les ensembles linéaires se partagent en deux classes seulement, celles qui ont été définies plus haut, et qui ont pour types la série des nombres entiers et l’ensemble des valeurs arithmétiques possibles de 0 à 1.

On peut néanmoins s’élever à la considération d’ensembles de