La discussion complète de cette assertion n’offrirait pas un grand intérêt à nos lecteurs ; nous nous contenterons donc d’ajouter quelques brèves remarques à la nomenclature des théories dont il s’agit.
Les principes de celle des rapports reposaient sur une classification de ceux-ci, aujourd’hui tombée en désuétude, parce qu’elle était intimement liée avec l’usage des fractions ayant pour numérateur l’unité. Cette théorie est en tout cas supposée par les connaissances harmoniques de l’époque de Platon.
Celle de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers, de la divisibilité et des puissances, partait de la définition des nombres pairs et impairs (définition qui a évidemment formé dès l’origine le début des ouvrages théoriques sur la matière), continuait par celle des subdivisions du pair[1], des nombres premiers et des nombres composés, absolument ou relativement entre eux ; l’exposition se poursuivait à l’aide d’une représentation figurée, où les unités étaient symbolisées par des points rangés à côté les uns des autres. Dans cette figuration, le nombre premier ou linéaire[2] était conçu sous le schéma d’une rangée de ces points ; un nombre formé de deux facteurs ou plan, sous celui de rangées égales disposées en rectangle, dont les côtés représentaient par conséquent les deux facteurs ; de même, un nombre formé de trois facteurs était figuré en solide parallélépipède.
Le même système de figuration par points, appliqué sur le plan sous d’autres dispositions régulières) servait à représenter ce qu’on a appelé les nombres triangles et polygones en général, c’est-à-dire les sommes de progressions arithmétiques commençant à l’unité. Etendu, dans l’espace, à la combinaison de ces sommes sous forme de pyramides, il se prêtait déjà à l’ébauche de théories plus complexes.
L’étude de l’arithmétique à ce premier degré devait enfin comprendre les proportions. En dehors de la proportion géométrique entre quatre nombres (anacoluthie de Speusippe), les anciens s’attachaient spécialement à considérer des groupes de trois termes dont l’un était soit moyen arithmétique, soit moyen géométrique entre les deux extrêmes. Les premiers pythagoriciens avaient déjà coMidérê un troisième groupement, une troisième médiété (μεσότης), sous-contraire ou
- ↑ Pairement pair = puissance de 2 — ; pairement impair = 2(2n + 1) ; — impairement pair = 2m(2n + 1).
- ↑ Εὐθυγραμμικὸς. Ce nom, dû, d’après Jamblique, au pythagoricien Thymaridas, se trouve avec les divers autres termes techniques que nous allons souligner, dans les citations du traite de Speusippe, mentionné plus haut, du moms sous la forme abrégée γραμμικος.
