l’expérience. Tout le monde aujourd’hui s’accorde à reconnaître que dans la plus expérimentale, la plus concrète des sciences, on simplifie le réel, on abstrait, on rectifie, on prend des moyennes, on symbolise puisqu’on généralise. La part de symbolisme et d’abstraction est beaucoup plus grande en mathématiques, voilà tout. Vous en convenez vous-même, quand vous parlez des suggestions de l’expérience, qui « joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie[1] », qui « nous guide » pour nous faire « reconnaître » qu’elle est la géométrie « la plus commode[2] ».
Ces objections viendraient d’une méprise. L’expérience n’a aucune part dans la construction des sciences mathématiques ; elles se constituent sans son secours, complètement. L’entendement construit le continu mathématique avec ses propres ressources. Il élabore définition et axiomes, s’occupant seulement de savoir s’il y a ou non contradiction dans ses constructions, et ne s’occupant jamais de chercher si elles sont ou non conformes à l’expérience, même rectifiée, même abstraitement schématisée. L’esprit raisonne soit par ses procédés logiques, soit par un procédé spécial : le raisonnement par récurrence qui est, lui aussi, indépendant de toute expérience. Et l’esprit, en procédant de la sorte, peut aussi bien construire une géométrie qui ne soit pas la plus commode que la géométrie la plus commode. L’expérience ne paraît qu’après coup, pour nous faire choisir dans une multiplicité de mathématiques que l’esprit avec certaines conventions pourrait rendre toutes applicables à l’expérience, celle qui s’applique le plus commodément, qui exige de lui le moins de fatigue : la géométrie euclidienne.
L’expérience sans doute nous oriente implicitement, instinctivement, vers le plus utile. Mais, en elle-même, elle reste en dehors de toute la construction mathématique. Elle n’intervient directement ni pour constituer l’objet et le définir, ni pour étayer le raisonnement. La preuve en est, si besoin est de preuves pour une affirmation que Poincaré considère comme aussi évidente, dans ce fait que les expé-
