Poincaré ne reculerait devant aucune des conséquences de cette théorie. On peut imaginer autant de systèmes, de signes qu’on voudra pour représenter les mêmes rapports. Le même texte se traduit en une infinité de langues. Seulement il ajoute que tous ces systèmes signifient la même chose.
On oublie trop souvent ce point quand on expose les idées de cette école. Or, c’est la conséquence nécessaire de ses prémisses et de son attitude.
Tous les systèmes de signes sont équivalents. Toutes les mathématiques traduisent les mêmes rapports, ou sont aptes à les traduire, chacune dans le système qu’elles adoptent, d’après leurs modalités spécifiques.
Il existera donc un vocabulaire qui permettra toujours de traduire un langage dans un autre langage, et de rendre compte des mêmes rapports dans tous les langages que l’on peut créer. Autrement dit, nous aurons toujours le moyen de passer d’un système de signes à un autre système, quel que soit le système considéré, pourvu que cet autre système soit un des systèmes scientifiques possibles. C’est ainsi que Beltrami a pu faire une sorte de dictionnaire géométrique qui donne les traductions réciproques des mêmes rapports en langage euclidien, lowatschewskien, riemannien, etc.
5. — Que conclure de là ? Il semble qu’il ne puisse y avoir ni équivoque, ni ambiguïté. Une seule issue s’ouvre devant nous : l’école critique ne saurait vraiment parler de l’objectivité des mathématiques. Notre mathématique n’est que l’une des innombrables mathématiques que nous aurions pu tout aussi bien choisir. Il serait contraire à tout ce qui vient d’être établi qu’on puisse la regarder comme étant plus particulièrement le décalque de la réalité[1]. Toutes les mathématiques possibles sont aussi bien le décalque de la réalité, et toutes sont aussi bien arbitraires[2], étrangères à toute réalité, à toute objectivité. Il n’y a donc pas une mathématique qui soit abstraite de l’expérience et qui soit imposée
