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Nous n’avons besoin de considérer que la progression géométrique génératrice du nombre nuptial :

a : 2 a : 4 a : 8 a.

Si on rapporte un terme quelconque à ses deux voisins immédiats, il est leur moyen proportionnel, ou pour parler comme le fait ici Platon ὁμοιοῦν τοὺς δύο ὅρους ; si on le considère, au contraire, par rapport à deux termes inégalement éloignés, il est ἀνομοιοῦν. Dans les deux cas d’ailleurs, son rapport avec chacun d’eux est simple, προσήγορος καὶ ῥητὸς ; il leur est multiple ou sous-multiple.

Considérons maintenant deux termes quelconques et ajoutons-les ou retranchons-les l’un de l’autre (αὐξόντων καὶ φθινόντων), nous engendrerons ainsi soit d’autres termes de la série, soit les nombres

3 a. 5 a. 6 a. 7 a. 9 a. 10 a. 12 a.


lesquels peuvent aussi, au moins les quatre premiers, être regardés comme μέσα ἀνομοιούντα par rapport aux termes de la série.

Or, chacun de ces nombres sera en rapport simple avec chacun des deux termes dont il provient.

Il suffit de le vérifier pour ceux engendrés avec le terme le plus élevé, 8 a.

8 a + 1 a = 9 a 8 a – 1 a = 7 a
8 a + 2 a = 10 a 8 a – 2 a = 6 a
8 a + 4 a 8 a – 4 a = 4 a.

Les résultats de l’addition ou de la soustraction sont toujours multiples du plus petit terme.

Par rapport au plus grand, on a les λόγοι ἐπιμόριοι , et le rapport de multiplicité 2.

Tous ces rapports étaient d’ailleurs harmoniques dès le temps de Platon.

accord de quarte
intervalle d’un ton majeur
communs à toutes les
 échelles musicales.

accord de tierce majeure (genre enharmonique d’Archytas).

intervalle moyen (diatonique mou d’Archytas).

C’est, croyons-nous, l’ensemble de ces relations simples entre les termes servant à la génération du nombre parfait nuptial, que Platon aura résumé de la façon la plus concise possible.

En somme, voici comme nous traduirions à peu près la phrase, sans prétendre d’ailleurs ni être parfaitement intelligible, ni respecter scrupuleusement le texte :

« Comme pour ce qui est divinement engendré, il y a pour la gé-

    deux moyennes proportionnelles, problème « solide, » insoluble avec la règle et le compas et d’ailleurs identique avec celui de la duplication du cube. C’était le grand desideratum de la « stéréométrie » pour Platon.