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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/535

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analyses. — erdmann. Die Axiome der Géométrie. 525

Après un rapide aperçu historique (Gh. I, pp. 12-33) sur les travaux de la nouvelle géométrie, commence leur exposition (Gh. II, pp. 34-89). Nous n'avons pas à revenir, à ce sujet, sur ceux dont nous avons déjà parlé dans la Revue, mais il convient de faire ressortir ici, avec M. Benno Erdmann, les importants résultats obtenus par Helmholtz, au point de vue de la possibilité d'une traduction, pour l'intuition, de la définition analytique de l'espace d'après Riemann *.

Cette dernière étant : L'espace est une grandeur continue dont les éléments sont déterminés sans ambiguïté par trois variables indépen- dantes, et dont la courbure est constamment nulle, — on pourra dire, d'après Helmholtz : — L'espace est une variété à trois dimensions (premier axiome), congruente par rapporta elle-même (second axiome), et plane (troisième et dernier axiome).

La congruence , c'est-à-dire la possibilité du déplacement d'une figure géométrique quelconque sans altération de sa forme et de ses dimensions, est ainsi substituée, pour l'intuition, à la constance de cour- bure, notion analytique. Elle est définie par trois postulats intuitifs qui constituent le second axiome.

1° Il existe des corps solides, c'est-à-dire des systèmes de points liés entre eux de telle sorte que si deux de ces systèmes sont supposés coïncider en un certain lieu de l'espace, ils devront nécessairement coïncider, si on les transporte simultanément en un autre lieu quel- conque de l'espace.

2° Si deux systèmes A et B peuvent être amenés à coïncider pour une première position de A, ils peuvent être amenés à coïncider pour toute autre position de A.

3° Les dimensions des corps solides ne changent pas lors d'une rota- tion autour d'un axe fixe.

Ces trois postulats, il faut le remarquer, sont absolument indépen- dants l'un de l'autre.

Quant à la planaritê de l'espace, elle réclame de même deux postu- lats qui constituent le troisième axiome.

1° Entre deux points quelconques de l'espace, il n'y a qu'une droite de possible.

1. Les publications d'Helmholtz citées par M. Benno Erdmann sont les sui- vantes :

Veber die thatsâchlichen Grundlagen der Géométrie. Heidelberger Jahrbùcher, 1868, n» 46 et 47.

Veber die Thatsachen die der Géométrie zu Grunde liegen. Gœttinger Nachrich- chten, 1868, n- 9.

Veber die Vrsprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. Populure Vortriige. Fascicule III, Brunswick, 1876.

Les deux premières sont suffisamment connues du public français par l'ar- ticle d'Helmholtz inséré dans la Bévue scientifique du 9 juillet 1870. La troi- sième a paru en anglais dans le Mind de juillet 1876 (Voir Bévue philosophique, t. II, pages 317 et 446), et en français dans la Bévue scientifique de cette anuée (1 er semestre).

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