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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/311

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veloppement représentent des classes dont la somme constitue la totalité des êtres ; si, par exemple, nous avons

xyz + (1-x) y (1-z) + (1-x) (1-y) z + (1-x) (1-x) (1-z) = 1,

cette expression signifie que par rapport aux propriétés dénotées par ce, y, z, la totalité des êtres est divisée en quatre classes, la première contenant tous les êtres qui sont à la fois ce y z; la deuxième, tous ceux y, mais qui ne sont ni ce ni z ; la troisième, tous ceux qui sont z, mais qui ne sont ni x, ni y ; enfin la quatrième, tous ceux qui ne sont ni ce, ni y, ni z, et qu’un être quelconque appartient à l'une de ces quatre classes.

Considérons maintenant le cas où la fonction est égalée à un symbole logique quelconque, w, V = w.

Ce cas n’est pas arbitraire, mais répond à un problème de la plus grande généralité en logique : Étant donnée une équation logique, unissant les symboles x, y, z, et w, on demande d’exprimer d’une façon qui puisse être interprétée, la relation de la classe représentée par w aux classes représentées par les autres symboles ce, y, z, etc.

En fait, si nous développons l’équation donnée, quelle que soit sa forme par rapport à w, nous obtenons une équation de la forme

Ew + E’(1-w) = 0 [1]

E E’ étant fonctions des autres symboles. Nous avons donc

E’ = (E’E) w,

D’où w = E’/E E’ [2]

Développant le second membre, il restera à interpréter logiquement le résultat d’après la proposition qui va suivre.

Si on demande la relation de la classe 1 — w aux autres classes x, y, z, etc., nous déduisons de [1], comme ci-dessus,

1-w = E/E E’

équation à l’interprétation de laquelle s’applique aussi la méthode contenue dans la Proposition III.

Proposition III. — Déterminer l’interprétation de toute équation logique de la forme w = V, dans laquelle w est le symbole d’une classe et V une fonction d’autres classes, complètement indéterminée dans sa forme.

Supposons que le second membre de l’équation w = V soit complètement développé. Chacun de ses coefficients sera de l’une des quatre espèces suivantes :