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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/309

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 299

un symbole y en 1 — y ; pour former le cinquième, le sixième, le septième et le huitième, changer dans les quatre premiers un autre symbole a? en 1 — x, et ainsi de suite jusqu'à ce que le nombre des changements possibles soit épuisé.

2° Trouver le coefficient d'un constituant quelconque. — Si ce constituant contient x comme facteur, changer dans la fonction ori- ginale x en 1 ; s'il contient le facteur 1 — x, changer dans la fonction originale x en 0. Appliquer la même règle par rapport aux autres symboles y, z, etc. Ainsi le coefficient du constituant (1 — x) (1 — y) zseraf (G>, 0, 1).

La somme des constituants, multipliés chacun par son coefficient respectif, sera l'expansion demandée.

On remarquera que dans une expansion donnée, un constituant quelconque, t, satisfait à la loi de dualité, t (1 — t) = 0, que le pro- duit de deux constituants distincts = 0, et que la somme de tous les constituants = 1.

��Interprétation générale des équations logiques.

Il s'agit maintenant d'interpréter ces formules. Comme toute ex- pansion d'une fonction contient deux espèces d'éléments, consti- tuants et coefficients, la question doit être divisée. Il faut rechercher d'abord l'interprétation des constituants, puis se demander en quelle sorte les coefficients qui y sont attachés en modifient l'interpréta- tion.

En premier lieu, les constituants d'une fonction des symboles logi- ques x, y, etc., développée sont interprétables, et représentent toutes les divisions exclusives de la totalité du discours, formées par l'affir- mation et la négation des qualités dénotées par les symboles x et y y etc.

Pour plus de clarté, supposons que la fonction développée con- tienne seulement les symboles x et y. Nous avons les quatre cons- tituants,

xy, x(l-y), {\-x)y, (i-x){l-y).

Le premier, xy, représente la classe d'objets que possèdent en même temps les qualités exprimées par x et par y ; le second, x (\-y)> ceux qui possèdent la propriété x, mais qui ne possèdent pas la propriété y\ le troisième (l-x) y, ceux qui sont y, mais qui ne sont pas ce; enfin le quatrième, ceux qui ne sont ni x ni y . Ces constituants re-

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