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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/308

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298 REVUE PHILOSOPHIQUE

Proposition II. — Développer une fonction contenant un nombre quelconque de symboles logiques.

Soit d'abord le cas de deux symboles, f (x, y).

Considérant f (x,y) comme une fonction de x seulement, et le dé- veloppant d'après le théorème général précédent nous avons :

f (x,y) = f (l,y) x + f (0,y) (l-x) [2]

où f (1, y) et f (0, y) représentent ce que la fonction proposée de- vient, quand au lieu de x nous écrivons 1 et 0.

Maintenant, prenant le coefficient f(l, y), et le considérant comme une fonction de y f et le développant, nous avons :

f(\,y) = f([,\)y + f(i,0)(l-y) > [3]

où f (1,1) et f (1,0) représentent ce que f(i,y) devient, quand on y fait y égal à 1 et à 0. De même, le coefficient f (0, y), donne par expansion :

f (0,y) = f (0,1) y + f (0,0) (\-y). [4].

Substituons dans [2] à f (1, y), f (0, y) leurs valeurs données en [3] et en [4], et nous avons :

f (x,y) = r (1.1) xy + f (1,0) x (ï-y) + f (04) (1-x) y + f (0,0) (l-x)

(i-y). I 5 ]

C'est là l'expansion demandée, f (1, 1) représente ce que f (x, y) de- vient quand on fait x = 1, y = 1 ; /" (1, 0), ce que f (x, y) devient quand on fait x = 1 et y = 0, et ainsi de suite.

Si, par exemple, f (x, y) représente la fonction - > nous trou-

1 —y

vons :

f (1,1) = g, /> (1,0) = J = 0, f (0,1) = { -, f (0,0) = 1 ;

d'où L'expansion de la fonction donnée est

1

5 xy + Ox (i-y) + £ (1-x) y -h (l-x) (1-y)..

On peut de là tirer une règle générale pour l'expansion de toute fonction des symboles x, y, z.

1° Former les constituants 4 , de la manière suivante : le premier constituant est le produit des symboles; pour former le second, changer dans ce produit un symbole z en 1 — z ; pour former le troisième et le quatrième, changer dans le premier et dans le second

1. Boole appelle constituant d'une expansion tout terme tel que xy, x (\-y), etc., et coefficient tout terme tel que f (1,1),/" (1,0), etc.

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