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Page:Revue philosophique de la France et de l’étranger, IV.djvu/307

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LIARD. — LA LOGIQUE ALGÉBRIQUE DE BOOLE 297

toute expression algébrique contenant [deux symboles ce et y, est ap- pelée fonction de ce et de y, f [x, y,) et ainsi de suite. Ainsi f {x) re- présentera l'une quelconque des fonctions suivantes :

x, l-x, -. j etc.,

' l-x

et f {x, y) représentera de même l'une quelconque des formes x +y, x-2y, X ^~> etc.

D'après les mêmes principes, si dans une fonction de x nous chan- geons x en 1, le résultat sera exprimé par la forme f (1); si dans la même fonction, nous changeons x en 0, le résultat sera exprimé par

la forme f (0). Par exemple si f (x) représente la fonction a ~*~ x ,

a — 2cc

f (1) représentera a ~*~ » et f (0) représentera - • a — 2 a

Définition. — Toute fonction f (ce), dans laquelle x est un sym- bole logique, ou un symbole de quantité susceptible seulement des valeurs et 1, est dite être développée quand elle est ramenée à la forme a ce -f- & (1 — ce), a et b étant déterminés de façon à rendre le résultat équivalent à la fonction d'où cette forme -a été dérivée.

Proposition I. — Développer toute fonction f (x) où ce est un symbole logique.

Soit f {x) = ax + b (l-x) ; Pour x = \, nous avons : /"(l) = a ; Pour x = 0, nous avons : f (0) = b.

Substituant à a et à &, dans la première équation, leurs valeurs, nous avons :

f(x)=f(l)x + f(0)(l-x); [1]

C'est le développement demandé; le second membre (de l'équation représente adéquatement la fonction f (ce) , quelle qu'en soit la forme; car ce admet seulement les valeurs et 1, et pour chacune de ces valeurs le développement

f(i)x + f(0) (1-*),

prend la même valeur que la fonction f(x). Par exemple, on de- mande de développer la fonction . 7^ • Pour x = 4, nous trou-

2- 1

vons : f (1) =s ô* pour x = 0, nous trouvons :f(0) = j ou 1. D'où :

tome iv. — 1877 20

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