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les calculs des expressions de la forme $x+y\ {\sqrt {-1}}$. La logique demande dès lors évidemment que, de même que nous pouvons définir la fonction d’une variable réelle, nous puissions définir la fonction d’une variable imaginaire.

Le plus simple à cet égard est de prendre précisément pour cette définition, comme l’a fait Cauchy, la propriété que nous avons énoncée plus haut. Ainsi si X et Y sont des fonctions complètes de $x$ et de $y$, c’est-à-dire si à tout système de valeurs (réelles) de $x$ et de $y$ correspond un système de valeurs (réelles) de X et de Y, nous dirons que

$u=X+Y\ {\sqrt {-1}}$

est fonction de la variable imaginaire

$z=x+y\ {\sqrt {-1}}$.

Partant de cette définition, l’illustre analyste a pu établir une théorie générale des fonctions auxquelles elle s’applique, les diviser en classes jouissant de propriétés différentes, et déterminer les conditions analytiques auxquelles elles doivent satisfaire. Il est dès lors possible, au moment de l’introduction méthodique des diverses fonctions que l’on étudie en algèbre, de vérifier si elles remplissent ces conditions, et la question que nous avons émise se trouve suffisamment résolue.

Nous ne pouvons naturellement entrer ici dans le détail de ces déductions ; il nous suffira d’en signaler un point essentiel.

Pour un système donné de valeurs d’$x$ et d’$y$, le système de valeurs d’X et d’Y peut être unique ou multiple (par exemple, si la fonction $u$ est racine d’une équation d’un degré supérieur). Dans le second cas, le système à adopter, en supposant qu’on commence par en considérer un en particulier, ne sera pas nécessairement toujours le même quand on fera repasser $x$ et $y$ par leurs valeurs initiales après les en avoir écartés simultanément et continûment ; au contraire, ces variations d’$x$ et d’$y$ pourront être supposées conduites de telle façon qu’on arrive à permuter successivement les uns dans les autres les divers systèmes de valeurs dont X et Y sont susceptibles.

Ces conséquences, contradictoires à la notion des fonctions réelles d’une seule variable, montrent que le symbole complexe imaginaire est particulièrement approprié à l’étude de la variation simultanée des deux groupes (X, Y), $(x,y)$, dont l’un peut être considéré comme composé de deux variables indépendantes, et l’autre de deux fonctions de ces variables. Cette propriété nous rapproche de l’emploi de ce symbole en géométrie, emploi que nous allons examiner brièvement à son tour.