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tannery. — la théorie de la connaissance

apporter en principe à la liberté de combinaison des signes algébriques, il y fait de nouveau appel à une intuition prétendue abstraite, et qui n’est autre que celle de la représentation géométrique des quantités imaginaires sur un plan. C’est un mode de considérations que nous devons absolument écarter et pour cause, en restant sur le terrain de l’algèbre pure.

Pour préciser la question, énonçons sous forme mathématique le fait dont il s’agit ; soit :

$u=\phi \ (z)$

une fonction de $z$, nous dirons que si l’on pose :

$z=x+y\ {\sqrt {-1}}$,

on pourra mettre la fonction $\phi (z)$) ou $u$ sous la forme :

$u=X+Y\ {\sqrt {-1}}$,

X et Y étant des fonctions réelles de $x$ et $y$.

Il est clair que ce fait constitue une propriété non pas du symbole ${\sqrt {-1}}$, mais bien de la fonction $\phi$. En d’autres termes, si la proposition énoncée est vraie pour les fonctions algébriques et les transcendantes ordinaires, elle ne s’applique pas à toutes les fonctions possibles ; elle appartient à une classe très nombreuse, qui embrasse notamment en algèbre toutes les fonctions définies jusqu’à présent en dehors du calcul intégral, mais qui ne peut s’étendre à l’universalité des relations imaginables. La question est de savoir si cette classe peut être définie à priori, et comment elle doit l’être.

Prétendre résoudre cette question en maintenant rigoureusement la position ci-dessus, serait vouloir s’enfermer dans un cercle vicieux. Il faut nous report er au moment de la convention relative à l’adoption du symbole ${\sqrt {-1}}$, et examiner les conséquences nécessaires de cette adoption.

Nous avons tout d’abord une notion claire, celle de la fonction réelle. Nous disons que $u$ est une telle fonction de $z$, lorsqu’à chaque valeur réelle de $z$, positive ou négative d’ailleurs, correspond une valeur (réelle) positive ou négative de $u$. Nous connaissons d’ailleurs des fonctions, comme les rationnelles par exemple, qui sont réelles sans aucune restriction pour toute valeur de la variable, et d’autres qui n’existent en fait que lorsque la variable reste comprise entre certaines limites : ainsi ${\sqrt {x-1}}$ n’est réelle — n’existe — que si $x$ est supérieur à l’unité positive ; ainsi l’arc dont le sinus est $x$ est de même une fonction qui n’existe que si $x$ reste compris entre — 1 et + 1.

Telle est la situation lorsque nous convenons d’introduire dans