tière dans la surface et il est tangent tout le long de cette droite. Pour les sections normales faites en un point, la courbure varie symétriquement de chaque côté de la droite en question, depuis zéro jusqu’à un maximum correspondant à une direction perpendiculaire.
Les surfaces développables sont les surfaces cylindriques, les coniques ou encore celles qui contiennent toutes les tangentes d’une ligne gauche comme l’hélice. A l’exclusion de toutes autres, ces surfaces ont la propriété de pouvoir être étendues sur un plan et en général sur une autre quelconque d’entre elles, sans qu’aucun de leurs éléments ne subisse d’extension ni de rétrécissement ou bien, comme l’on dit encore, sans déchirure ni duplicature. Un plan peut être de la même façon enroulé sur toute surface développable et ne peut l’être sur une surface non-développable.
Si l’on veut appliquer à ces surfaces développables la définition précédente de la courbure, on reconnaît immédiatement qu’on doit considérer la leur comme nulle, puisque l’un des facteurs du produit, la courbure minima, s’annule. Il est clair que si l’on voulait distinguer les unes des autres les surfaces développables au point de vue de la courbure, on le ferait au moyen de l’autre facteur. Si cet autre facteur était constamment nul, la surface serait évidemment plane.
Mais ce caractère de nullité de la courbure pour les surfaces développables doit être conservé en ce qu’elles rentrent par là, comme nous allons le voir, dans le cas des surfaces à courbure constante.
En général, la courbure d’une surface varie d’un point à l’autre et il en résulte, comme Gauss l’a démontré, qu’une portion de surface ne peut être ni déplacée sur cette surface, ni appliquée sur une autre, sans qu’il y ait déchirure ou duplicature. Il n’y a d’exception que pour les surfaces à courbure constante, c’est-à-dire pour lesquelles le produit positif, nul ou négatif, des courbures maxima et minima garde la même valeur pour tous les points. Un élément quelconque de la surface peut se mouvoir alors sur toute la surface ainsi que sur toute autre ayant la même courbure, sans subir d’extension ni de rétrécissement ; il ne pourrait d’ailleurs le faire sur une autre surface dont la courbure même constante serait différente.
Or la géométrie, euclidienne ou non, suppose implicitement toute entière qu’une figure quelconque peut être transportée dans l’espace de toutes les manières possibles sans se déformer. La supposition contraire parait tellement absurde au premier abord, que jusqu’à Riemann, personne peut-être n’y a songé. Il est cependant facile de reconnaître qu’il y a là un postulatum dont la valeur est purement empirique.
