En général, toutes les tangentes qu’on peut mener en un point d’une surface, à toutes les courbes tracées sur cette surface et passant par ce point, sont comprises dans un même plan, dit plan tangent à la surface en ce point. La droite perpendiculaire à ce plan au point de contact est dite normale à la surface.
La courbure d’une surface est dite positive en un point, lorsque dans le voisinage immédiat de ce point, elle est toute entière d’un même côté du plan tangent; c’est le cas des surfaces vulgairement appelées bombées, concaves ou convexes. Pour ces surfaces, la courbure des sections faites suivant des plans passant par la normale, varie suivant une loi déterminée entre un maximum et un minimum correspondant à deux sections faites à angle droit l’une de l’autre. On est convenu depuis Gauss de prendre pour mesure de la courbure de ces surfaces le produit des courbures de ces deux sections, c’est-à-dire l’inverse du produit de leurs rayons de courbure.
La courbure d’une surface est dite négative, lorsque le plan tangent coupe la surface au point même du contact. Tel est le cas pour les surfaces qu’on appelle ordinairement gauches, ou pour celles dont on dit qu’elles ont deux courbures opposées; on peut prendre comme exemple la surface intérieure d’un anneau à section circulaire, celle d’une selle de cheval, etc. Dans ce cas, la courbure des sections normales est nulle pour deux directions; c’est-à-dire que ces sections sont situées de part et d’autre du plan tangent et subissent une inflexion à sa rencontre. Aucune des autres sections normales ne traverse ainsi le plan tangent, mais les unes sont toutes d’un côté, les autres toutes entières de l’autre côté. Le passage d’un groupe à l’autre se fait précisément suivant les directions pour lesquelles la courbure est nulle. Dans chaque groupe, la courbure varie de zéro à un maximum pour revenir symétriquement à zéro. Il y a ainsi pour l’ensemble deux maximum correspondant à deux sections faites à angle droit l’une de l’autre, mais ces maximum sont de signe contraire, et l’un d’eux peut par suite être considéré comme un minimum. Le produit négatif de ces deux courbures maxima est pris conventionnellement pour mesure de la courbure de la surface au point considéré.
Une surface définie analytiquement peut, bien entendu, être de courbure positive dans une région, de courbure négative dans une autre. Tel est le tore (anneau à section circulaire), engendré par la révolution d’un cercle autour d’un axe situé dans son plan, mais ne le coupant pas.
Les surfaces développables forment au contraire une classe à part. Le plan tangent y contient une droite qui est située toute en-
