dans laquelle la tangente de l’angle u est le nombre dont on trouve le logarithme dans les Tables, e = 2, 7182818… est la base du système de logarithmes népériens, k est un paramètre, une constante qui ne peut être déterminée que par l’expérience. Celle-ci nous apprend que ce paramètre est extrêmement grand par rapport à tout ce qui est mesurable pour nous.
Si, dans les formules de la géométrie de la sphère du système Σ, où l’on fait entrer la valeur du rayon, et qui diffèrent dès lors de celles du système S, on donne à ce rayon la valeur imaginaire k √-1, on retrouve toutes les formules de la planimétrie du système S. À ce point de vue, on a pu dire, en employant un langage qui est, à proprement parler, celui de la géométrie imaginaire, que le plan du système S est une sphère imaginaire de rayon k √-1 du système Σ. Mais si curieux que soit ce rapprochement, nous avons suffisamment insisté sur la notion des imaginaires, pour qu’on sache qu’il n’y a là rien autre chose qu’une relation purement analytique. On peut d’ailleurs éviter l’emploi des imaginaires par celui des lignes trigonométriques hyperboliques[1], qui se substituent dans les formules aux lignes trigonométriques ordinaires des arcs de grand cercle tracées sur la sphère. Il n’y a qu’à supposer les longueurs rapportées au paramètre k, au lieu de les supposer rapportées au rayon de la sphère gris comme unité ainsi qu’on le fait généralement dans la trigonométrie sphérique.
Nous remettons à une étude ultérieure l’examen des développements qu’a subis depuis vingt-cinq ans la théorie de Lobatchewsky, par les travaux de Riemann[2], Beltrami[3], Klein. Dans une matière de cette nature, on nous accordera qu’il est préférable de ne faire marcher l’analyse que pas à pas.
III
L’accueil fait par les géomètres aux nouvelles théories n’a pas toujours été très-empressé ; celui des philosophes capables de juger la question a été nettement hostile.
- ↑ D’où le terme de géométrie hyperbolique. Klein.
- ↑ Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, mémoire posthume de B. Riemann, traduit par J. Hoüel. Extrait des Annali di Matematica pura et applicata. Série II. Tome III. Fasc. IV.
- ↑ E. Beltrami. Essai d’interprétation de la géométrie non-euclidienne, traduit par J. Hoüel ; Annales scientifiques de l’école normale supérieure, tome IV, année 1869.
