lesquelles entre la notation V-1 , notation qui n'a, par elle-même, aucun sens, mais qu’on est convenu de traiter dans les calculs suivant des règles déterminées et n’impliquant pas contradiction.
Examinons quel rôle peuvent jouer ces expressions algébriques dans l’application de l’algèbre à la géométrie, et spécialement en géométrie analytique.
Si , dans un problème de géométrie , on calcule une quantité inconnue, et que toutes réductions faites, elle se présente sous la forme imaginaire, ce résultat indique que cette quantité n'existe pas en fait, et que c’est à tort qu’on a pu faire l’hypothèse contraire.
Supposons par exemple que nous ayons, en géométrie analytique à deux dimensions, à déterminer par leurs coordonnées les deux points d’intersection de deux cercles donnés dans un plan.
Il peut évidemment se faire que les données soient telles que les deux cercles ne se coupent pas; dans ce cas, les coordonnées se présenteront sous une forme imaginaire.
Mais convenons, en traitant dans le calcul ces quantités imaginaires suivant les règles algébriques, de leur faire subir les mêmes opérations que si elles étaient réelles et que nous nous proposions de déterminer l’équation de la droite passant par les deux points d’intersection , nous trouverons que cette équation n’est pas compliquée d’imaginaires.
Que signifie un pareil résultat? que deux cercles étant donnés, il y a toujours une droite jouissant, par rapport à ces deux cercles, de certaines propriétés[1] et qui, d’ailleurs, si les cercles se coupent, passe par les points d’intersection. Rien de plus.
Mais comme facilité de langage, on pourra dire que deux cercles se coupent toujours en deux points (réels ou imaginaires)[2], et que la droite passant par ces deux points est toujours réelle et jouit de telle et telle propriété.
Des exemples analogues d’interprétations géométriques de formes imaginaires peuvent se rencontrer dès les débuts de la géométrie analytique. Il y avait là une conséquence forcée de la correspondance établie par Descartes entre l’algèbre et la géométrie. Toutefois ce n’est qu’à une époque toute récente que les conventions nécessaires pour systématiser ces interprétations, ont reçu leur entier développement, aujourd’hui très-complexe, et que nous ne pouvons exposer.
Le point de départ de ces conventions consiste, comme on le pres-
