On confond souvent à tort, sous le nom de géométrie imaginaire, plusieurs théories essentiellement distinctes.
Écartons tout d’abord la plus récente, je veux dire la géométrie à n dimensions.
Les métaphysiciens y chercheraient en vain quelques lumières pour éclaircir la fameuse question : L’existence d’espaces ayant plus de dimensions que le nôtre est-elle possible? Ce problème, pour long-temps encore, sinon pour toujours insoluble, ne peut être raisonnablement abordé que du côté de la physiologie. Dans la nouvelle théorie mathématique, il ne s’agit nullement en fait de géométrie, mais simplement d’algèbre pure.
L’objet théorique de l’algèbre est l'étude des relations (équations) qui peuvent exister entre diverses quantités variables. La constitution, par Descartes, de la géométrie analytique a respectivement ramené l'étude des problèmes qui se présentent, soit sur le plan, soit dans l'espace , aux cas algébriques où les variables sont deux ou trois. Ceux où elles sont en nombre plus élevé ne trouvent leur application pratique que dans les sciences dont l’objet est moins abstrait que celui de la géométrie.
Dès les commencements de la géométrie analytique, il s’est fait comme une fusion entre l’algèbre et la science de l’espace. Ainsi, que l’on convienne, avec Descartes, de définir la position d’un point quelconque d’un plan par ses distances (coordonnées) à deux droites fixes perpendiculaires entre elles , toute droite placée sur le plan pourra se représenter par une équation du premier degré entre les coordonnées, et, réciproquement, toute équation du premier degré
