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Page:Revue des Deux Mondes - 1840 - tome 21.djvu/413

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tités, l’habitude que nous avons d’aller des diverses parties à la somme, la rapidité avec laquelle nous saisissons leur égalité nous fait illusion sur le véritable procédé de l’esprit ; mais quand nous voulons réunir plusieurs grands nombres en un seul, la difficulté que nous éprouvons à arriver au nombre total qui les renferme nous prouve que nous n’allons pas du même au même, et qu’il s’agit bien pour nous d’acquérir une nouvelle connaissance.

Pourquoi donc a-t-on regardé les propositions arithmétiques comme des propositions analytiques ? C’est qu’on a moins considéré les procédés de l’esprit dans la formation de ses connaissances que ces connaissances en elles-mêmes, relativement à leurs objets et indépendamment de l’esprit. Comme sept plus cinq et douze sont en effet des nombres identiques, on a cru que dire : sept plus cinq égale douze, c’est passer d’une même connaissance à une même connaissance. Mais si l’idée du second terme est implicitement dans le premier, elle n’y est pas explicitement et psychologiquement ; et la question est ici de savoir si, parce que nous avons la notion des deux unités sept et cinq, nous avons aussi la notion de l’unité totale douze qui les représente.

Les vérités géométriques ne sont pas non plus des vérités identiques. Si cette proposition : la ligne droite est la ligne la plus courte d’un point à un autre, est analytique, il faut prouver que logiquement l’idée de la ligne la plus courte est renfermée dans l’idée de ligne droite. « Mais l’idée de droit, dit Kant, ne renferme aucune idée de quantité, mais seulement de qualité. » Les vérités de géométrie sont donc de l’ordre synthétique. Il faut distinguer toutefois deux sortes de vérités géométriques, trop souvent confondues, les unes qui sont purement analytiques, les autres qui ont un caractère synthétique. Les premières sont les axiomes de la géométrie, les secondes sont ses véritables principes. Les axiomes tels que ceux-ci : — a égale a ; le tout est égal à lui-même ; le tout est plus grand que la partie ; — ces axiomes, qui ne sont peut-être que diverses faces du principe de contradiction, sont indispensables à la science. Est-il, en effet, un seul théorème qui ne les suppose ? Est-il possible de faire un seul pas en géométrie si l’on n’admet que le même est le même, que le tout est plus grand que la partie ? Mais, d’un autre côté, qu’on nous montre quelque vérité géométrique sortant directement de ces axiomes comme de leur principe. Les axiomes sont donc à la fois indispensables et improductifs. Au contraire, prenez la dernière vérité de la géométrie, et cherchez d’où elle sort ; elle sort de la vérité précé-