tion, jouent le rôle de points, l’ensemble des positions obtenues par des translations de la position zéro dans une même direction, et par suite la classe de ces translations groupées en sous-classes de translations équivalentes, jouera évidemment le rôle d’une droite par le point zéro. L’ensemble des classes de translations équivalentes menant aux positions atteintes en exécutant, d’abord une translation membre d’un point P, puis l’une quelconque des translations appartenant à une direction donnée, remplira l’office d’une droite quelconque (définition 14).
La définition de l’égalité de distance exprime le fait suivant. Soit deux translations A et B ; on peut toujours faire précéder A d’un mouvement M tel que la direction de A, exécutée après M, soit parallèle à la direction de B. Si A et B sont de même longueur, il est clair que ce même mouvement M conduira de la position d’arrivée de B à la position d’arrivée de MA, ou bien que les deux suites BM, MA seront équivalentes, et réciproquement.
La définition d’une longueur plus grande qu’une autre, rendue nécessaire par l’existence de longueurs incommensurables, exprime le fait que les côtés égaux d’un triangle isocèle sont plus longs que la médiane abaissée sur le troisième côté.
Terminons par quelques remarques.
Nous avons parlé du corps du poisson ; il est à peine nécessaire de remarquer qu’il en ignore l’existence, et que son expérience est trop pauvre pour lui permettre de former la moindre notion de corps.
Pour l’être que nous venons d’imaginer, la géométrie serait une physique. Chacune de ses lois affirmerait quelque chose d’immédiatement vérifiable. Ces affirmations, sans doute, seraient fort compliquées. Par exemple la proposition que deux droites possédant deux points communs ont tous leurs points en commun, exprimée en termes des points et des droites définis plus haut, occuperait près d’une page de la Revue de Métaphysique et de Morale. Mais si cette proposition est déjà bien complexe, du moins s’applique-t-elle simplement et exactement à l’expérience de notre poisson : si ses mouvements, au lieu d’être précis, étaient approximatifs comme les nôtres, si son milieu était comme le nôtre hétérogène et en mouvement, ce n’est plus une page qu’il faudrait, mais dix
