ment de correspondra un élément de en vertu de cette même correspondance ; et comme cet élément fait partie de , l’élément fera partie de , et de tous les et par conséquent de ; on a donc :
et en rapprochant toutes nos équations :
J’ai souligné plus haut les mots et ainsi de suite afin de mettre en évidence l’application du principe d’induction. Nos ensembles et sont définis par récurrence et on raisonne sur eux par récurrence.
Si M. Couturat connaît une autre démonstration du théorème de Bernstein, qu’il se hâte de la publier, cela sera une découverte mathématique importante. Mais s’il n’en connaît pas, qu’il cesse de dire que la théorie des nombres infinis peut se constituer sans le principe d’induction. Qu’il n’écrive pas que MM. Russell et Whitehead ont pu démontrer formellement, en partant de principes purement logiques, toutes les propositions de cette théorie et la purger de tout postulat et de tout appel à l’intuition. S’ils avaient pu en même temps la purger de toute contradiction, ils nous auraient rendu un service signalé ; hélas ! sur cette théorie les mathématiciens discutent encore, sans être près de s’entendre.
Ce qui précède doit nous donner à réfléchir. Nous avons à démontrer un théorème dans la démonstration duquel nous faisons intervenir un postulat qui est la définition d’un objet . Alors de deux choses l’une :
Ou bien le nom de l’objet figure dans l’énoncé du théorème ; dans ce cas il est clair que la définition de cet objet doit figurer parmi nos prémisses ; sans elle, non seulement il serait impossible de démontrer le théorème, mais il n’aurait aucun sens ;
Ou bien, au contraire, le nom de ne figure pas dans l’énoncé. On peut alors démontrer le théorème sans faire intervenir le postulat qui définit cet objet ; il suffit, toutes les fois qu’on rencontrera dans la démonstration le nom de , de le remplacer par sa défini-
