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revue de métaphysique et de morale.
partie de
, aux divers éléments de
, correspondront des éléments de
, dont l’ensemble
sera une partie de
et on aura
, et
.
On définira de même un ensemble
qui sera une partie de
, et qui sera tel que l’on ait
et et
.
Maintenant comme on a
et que
est une partie de
, on trouvera de même un ensemble
qui sera une partie de
et satisfera aux conditions :
![{\displaystyle \mathrm {A} _{2}\equiv \mathrm {B} _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf4b3dd274e3d724ca18692084256829255942f)
,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}-\mathrm {A} _{2}\equiv \mathrm {B} _{2}-\mathrm {B} _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f73989e41da1e908ba04d851f81ef619b3df11)
On définirait de même
et ainsi de suite, de sorte qu’on aurait une suite d’ensembles
,
,…,
,
,
,…
tels que
soit
et
une partie de
et que l’on ait :
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}\equiv \mathrm {B} _{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f39dbf03add76819ba5727932265f7db450a7c)
,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n-1}-\mathrm {A} _{n}\equiv \mathrm {B} _{n}-\mathrm {B} _{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc08e46c2cd1c954d2ce6315e1ff9e112303141)
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n}\equiv \mathrm {A} _{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce63d9ca4d843c8a6420b4af4198af2d7a50607)
,
![{\displaystyle \mathrm {B} _{n-1}-\mathrm {B} _{n}\equiv \mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f8bf78eabaf55a216c5c8ef42f02ff77b14249)
Soit maintenant
l’ensemble de tous les éléments communs aux divers ensembles
,
,…,
,… ; et
l’ensemble de tous les éléments communs aux divers ensemble
,
,…,
,… ; on aura :
Car lorsque, dans une série indéfinie d’ensembles, chacun est une partie du précédent, le premier est formé de tous les éléments qui appartiennent à tous ces ensembles et de tous ceux qui appartiennent à l’un d’eux sans appartenir au suivant.
Ce principe que je viens de souligner est bien évident ; mais il semble qu’il suppose un appel spécial à l’intuition ; je n’insiste pas sur ce point. Montrons maintenant que :
![{\displaystyle \mathrm {C} \equiv \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721b062ada19d29b5c23cdec3437b10239da7719)
.
En effet à un élément de
, faisant partie de
, correspondra un élément de
, en vertu de la correspondance définie par la relation :
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}\equiv \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d2e51a8f4453339e096125326e8402fe4697db)
.
Comme cet élément fait partie de
et que la correspondance définie par
, est la même que celle qui est définie par
, l’élément correspondant fera partie de
; il fait donc partie de tous les
et par conséquent de
; inversement à tout élé-