S’il en était ainsi, nous serions certains que nous n’aurions jamais à craindre de contradiction.
Mais cela c’est faire de l’induction complète, et c’est précisément le principe d’induction complète qu’il s’agirait de justifier.
Et qu’on n’aille pas dire : il s’agit de vérifier que le principe d’induction complète n’entraîne pas de conséquences contradictoires ; je dnis donc étudier les conséquences de ce principe et par conséquent j’ai le droit de lui faire jouer un rôle dans mes raisonnements.
Cela serait un paralogisme et pour deux raisons :
1o Si je m’appuie sur le principe lui-même pour montrer qu’il n’implique pas contradiction, je démontre seulement que s’il est vrai, il n’est pas contradictoire ; et cela ne nous apprend rien. Il ne suffit pas de comparer certaines conséquences du principe, il faudrait les comparer toutes.
2o Le principe n’aurait pas le même sens dans l’énoncé, et dans l’application que nous en ferions. Dans l’énoncé, il signifie : il y a des nombres qui satisfont au principe, et ces nombres, par définition, je les appelle entiers. Et dans l’application qu’est-ce que je fais ? Je dis que quel que soit le nombre de mes raisonnements successifs, je ne serai pas conduit à des conclusions contradictoires parce que ce nombre étant entier, satisfait au principe. Mais comment saurais-je que le nombre de mes raisonnements est un nombre entier ? Si je donne à ce mot le sens vulgaire, cela ne sera pas difficile ; mais si je le définis comme je viens de le faire, comment saurais-je que le nombre de mes raisonnements est un de ceux qui satisfont au principe ?
J’examinerai plus loin les tentatives que fait Hilbert pour sortir de ces difficultés ; mais j’aurais voulu d’abord réfuter la démonstration de MM. Russell et Couturat. Ce qui m’en empêche c’est que cette démonstration n’existe pas.
« Cette définition, dit simplement M. Couturat, n’assure ni l’existence, ni l’unicité de l’objet défini. C’est surtout l’unicité qui ne paraît pas évidente. » Suivent de longues considérations sur l’unicité et de l’existence il n’est pas question.
Et alors un problème psychologique se pose : comment deux logiciens aussi avisés ne se sont-ils pas aperçus de cette lacune ?
