1. Zéro est un nombre entier.
2. Zéro n’est le suivant d’aucun nombre entier.
3. Le suivant d’un entier et un entier
auquel il conviendrait d’ajouter
tout entier a un suivant.
4. Deux nombres tuiliers sont égaux, si leurs suivants le sont.
5. Si est une classe telle qu’elle contient et que, si elle contient l’entier , elle contient le suivant de , alors elle contient tous les nombres entiers.
Ce 5e axiome est le principe d’induction complète.
M. Couturat considère ces axiomes comme des définitions déguisées ; ils constituent la définition par postulats de zéro, du « suivant », et du nombre entier.
Mais nous avons vu que pour qu’une définition par postulats puisse être acceptée, il faut que l’on puisse établir qu’elle n’implique pas contradiction.
Est-ce le cas ici ? Pas le moins du monde.
La démonstration ne peut se faire par l’exemple. On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple les trois premiers, et démontrer qu’ils satisfont à la définition.
Si je prends la série je vois bien qu’elle satisfait aux axiomes et ; mais, pour qu’elle satisfasse à l’axiome , il faut encore que soit un entier, et par conséquent que la série satisfasse aux axiomes ; on vérifierait qu’elle satisfait aux axiomes , mais l’axiome exige en outre que soit un entier et que la série satisfasse aux axiomes, et ainsi de suite.
Il est donc impossible de démontrer les axiomes pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous, il faut renoncer à la démonstration par l’exemple.
Il faut alors prendre toutes les conséquences de nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces conséquences étaient en nombre fini, cela serait facile ; mais elles sont en nombre infini, c’est toutes les mathématiques, ou au moins toute l’arithmétique.
Alors que faire ? Peut-être à la rigueur pourrait-on trouver un moyen de montrer qu’un raisonnement nouveau ne pourra pas introduire de contradiction, pourvu que l’on suppose que, dans la suite des raisonnements antérieurs, nous n’en ayons pas rencontré jusqu’ici.
