continuité la notion, également infinitésimale, de dérivée, étudier la rectification des lignes courbes, la complanation des surfaces courbes, considérer un point matériel soumis à un mouvement quelconque, et définir, pour un instant quelconque, la vitesse, l’accélération, la force, etc. Sans entrer dans le détail de toutes ces questions, indiquons brièvement quelques-uns des résultats auxquels elles conduisent.
Pour mesurer un arc de courbe, on déduit de sa définition analytique une valeur analytique à l’aide de considérations infinitésimales tellement imaginées, qu’il semble on ne peut plus naturel de regarder comme équivalents en longueur l’arc curviligne physique qui traduit cette définition et le segment rectiligne physique qui traduit cette valeur. Pour mesurer une aire ou un volume, on procède de façon analogue, et la valeur analytique qui en résulte fournit, par sa traduction physique en un segment rectiligne, soit la hauteur d’un rectangle équivalent ayant pour base l’unité de longueur, soit la hauteur d’un parallélépipède rectangle équivalent ayant pour base le carré construit sur l’unité de longueur.
On nomme point matériel une portion de matière contenue dans une portion d’étendue presque imperceptible. Cela étant, si l’on désigne par x, y, z trois fonctions d’une même variable t, et que l’on traduise les variations analytiques simultanées de t, x, y, z par les variations physiques simultanées 1° du temps, 2° de la position d’un point matériel (considéré isolément) par rapport à trois axes rectangulaires (considérés comme fixes) : on obtient comme figuration un mouvement du point. Attribuant alors à la variable t une valeur particulière quelconque, considérons, avec les valeurs correspondantes des trois fonctions x, y, z, celles de leurs dérivées premières ; puis, à partir de la position du point qui traduit physiquement le système des valeurs considérées de x, y, z, portons, parallèlement aux trois axes et chaque fois dans le sens voulu, les segments rectilignes qui traduisent physiquement les valeurs des trois dérivées premières ; construisons sur ces trois segments un parallélépipède, et considérons en longueur, direction et sens la diagonale qui part de leur commune origine pour aboutir au sommet opposé : la grandeur géométrique ainsi obtenue se nommera la vitesse du point matériel à l’instant considéré. La même construction, effectuée en substituant aux dérivées premières les dérivées secondes de x, y, z, nous fournira, pour l’instant dont il s’agit, la valeur de
