que la valeur de f (x) ne soit jamais téléo-négative quand x varie de x0 à X.
Il résulte, en premier lieu, du numéro précédent que la valeur de notre fonction dans l’intervalle de x0 à X se trouve figurée par un arc de courbe continu et limité, et les intervalles partiels analytiques dont il s’agissait tout à l’heure par autant de segments rectilignes portés bout à bout sur l’axe Ox et occupant toute la partie de cet axe située entre les ordonnées extrêmes de l’arc. À chacun de ces segments partiels correspond d’abord un arc partiel de la courbe, puis, en vertu de la loi Ψ, une ordonnée particulière dont la longueur se trouve physiquement comprise entre les distances maximum et minimum des points de l’arc partiel à Ox. Quant à la quantité υm, elle mesure, comme nous l’avons établi (9), la somme des divers rectangles qui, dans l’état λm, ont pour bases les segments partiels marqués sur Ox et pour hauteurs les ordonnées particulières correspondantes ; en d’autres termes, cette quantité υm se trouve physiquement traduite par la hauteur d’un rectangle Rm, équivalent à la somme des précédents et construit sur l’unité de longueur comme base. Or la propriété analytique ci-dessus énoncée nous montre qu’à partir d’une valeur de m suffisamment grande, la hauteur du rectangle Rm, et par suite ce rectangle lui-même, conservent une apparence invariable, et que cette limite physique R du rectangle Rm est indépendante du choix qu’on a pu faire pour les lois Λ et ψ.
Cela étant, si, pour une même loi Λ, on nomme Ψ’, Ψ” les deux lois particulières qui à chaque intervalle partiel d’un état de division quelconque font correspondre respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs que prend f (x) dans cet intervalle, si l’on désigne en outre par υ’m, υ”m ce que devient υm et par R’m, R”m ce que devient Rm pour les deux lois Ψ’, Ψ”, il est de toute évidence physique que l’aire S comprise entre l’axe Ox, l’arc de courbe et ses deux ordonnées extrêmes est, pour toute valeur de m, supérieure à la somme de rectangles qui a pour mesure υ’m mais inférieure à la somme de rectangles qui a pour mesure υ”m ; elle se trouve donc comprise entre R’m et R”m, et, comme ces deux rectangles finissent par conserver une même apparence invariable R, qui d’ailleurs ne dépend nullement de la loi Λ, rien ne semble plus naturel que de considérer l’aire S comme équivalente au rectangle R.
14. Nous pourrions, après la mesure des aires planes, rechercher celle des volumes, puis, adjoignant à la notion infinitésimale de
