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puis du second μ₁, avec le troisième μ₂, et ainsi de suite, n’entraîne pas la coïncidence apparente de tous ces points avec le premier μ₀, nous répondrons qu’un semblable raisonnement, dont la forme est calquée sur certains raisonnements analytiques, n’a plus aucune valeur quand on l’applique à des objets physiques.

13. Lorsqu’une fonction de x est continue dans un intervalle déterminé, on peut établir par un raisonnement en forme l’existence de deux valeurs c₀, C (c₀ < C), jouissant de la double propriété que nous allons énoncer : 1° toute valeur c remplissant la double condition

c₀ ≤ c ≤ C

est atteinte au moins une fois par la fonction pour quelque valeur de x située dans l’intervalle dont il s’agit ; 2° aucune valeur inférieure à c₀ ni supérieure à C ne peut être atteinte par la fonction pour aucune des valeurs de x situées dans le même intervalle.

Désignons alors par f (x), comme précédemment, une fonction continue dans l’intervalle de x₀ à X (x₀ < X). On peut, d’une infinité de manières, diviser cet intervalle en intervalles partiels, c’est-à-dire former une suite de valeurs croissantes dont la première soit x₀, et la dernière X. Imaginons que de semblables états de division, respectivement désignés par les symboles

λ₁, λ₂, … , λ_m, …,

se succèdent indéfiniment suivant une loi Λ, arbitrairement choisie sous la réserve expresse que, un nombre téléo-positif quelconque α étant donné, on puisse assigner pour m une valeur à partir de laquelle les intervalles partiels correspondant aux états de division successifs demeurent tous d’amplitude inférieure à α. À tout intervalle partiel fourni par quelqu’un des états

λ₁, λ₂, … , λ_m, …,

faisons correspondre, suivant une loi déterminée Ψ, l’une des valeurs que prend la fonction dans l’intervalle partiel considéré. Désignons enfin par υ_m, la somme des résultats obtenus en considérant successivement chaque intervalle partiel de l’état λ_m, et multipliant son amplitude par la valeur de f (x) qui lui correspond en vertu de la loi Ψ. Cela posé, on démontre que la variable infinitésimale υ_m tend vers une limite indépendante des lois Λ et Ψ. Cette propriété, essentiellement analytique, est susceptible d’une application physique que nous allons faire connaître, en supposant, pour plus de simplicité,