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respondre des entiers déterminés μ, ν,… tels, que les relations simultanées

m ≥ μ, n ≥ ν, ……

entraînent comme conséquence nécessaire la relation

val. abs. a_{m, n, …} < val. abs. ε.

En d’autres termes, une variante qualifiée est dite infiniment petite, si, à partir de valeurs suffisamment grandes de tous ses indices, sa valeur absolue reste constamment inférieure à celle d’une quantité positive donnée.

Une variante qualifiée a_{m, n, …} dépendant des indices m, n,… est dite convergente, si la variante qualifiée

a_{m^", n^", …} – a_{m^’, n^’, …},

dépendant des indices m^’, n^’,… , m^"", n^",…, est infiniment petite. Telles sont, en particulier : 1° une variante infiniment petite ; 2° une variante immobile, c’est-à-dire qui garde toujours la même valeur qualifiée, indépendamment des valeurs entières que l’on attribue aux indices.

Une variante qualifiée est dite divergente lorsqu’elle n’est pas convergente.

Deux variantes qualifiées

a_{m…, p, …}, b_{n… p…},

pouvant avoir un certain nombre d’indices communs, p,…, sont dites de même valeur infinitésimale, si la variante

b_{n…, p^", …} – a_{m…, p^’…},

dépendant des indices m,… , n,…, p^’,…, p^",..., est infiniment petite.

On tire de ces définitions d’importantes conséquences, que nous allons énumérer.

Deux variantes qualifiées équivalentes à une même troisième sont équivalentes entre elles.

Deux variantes qualifiées équivalentes entre elles sont nécessairement convergentes.

Toute variante convergente se transforme en une équivalente par la simple addition d’un infiniment petit, et définit dès lors quelque valeur infinitésimale (on évitera de confondre la valeur infinitésimale d’une variante avec ses valeurs actuelles, obtenues en attribuant aux indices des valeurs particulières quelconques.

Une variante divergente n’a pas de valeur infinitésimale, car elle