expressions fractionnaires de même dénominateur, dont les valeurs soient données. Cela posé, si l’on désigne par
les h expressions fractionnaires dont l’ensemble constitue une solution
quelconque du problème dont il s’agit, l’expression fractionnaire
déduite des précédentes par l’addition des numérateurs, varie, il est
vrai, avec la solution considérée, mais garde une valeur constante,
qui est, par définition même, la somme des valeurs proposées.
Si, des valeurs fractionnaires quelconques étant données, on en considère des expressions respectives quelconques
l’expression fractionnaire
déduite des précédentes par la multiplication des termes semblables,
varie encore avec les expressions choisies pour les valeurs proposées,
mais garde une valeur constante, qui est, par définition même, le
produit des valeurs proposées.
Quant à la soustraction et à la division des valeurs fractionnaires, nous les définirons, suivant l’habitude, comme les opérations inverses de l’addition et de la multiplication. Retrancher d’une valeur donnée une autre valeur donnée, c’est trouver une troisième valeur qui, ajoutée à la seconde, régénère la première. Diviser une valeur donnée par une autre valeur donnée, c’est trouver une troisième valeur qui, multipliée par la seconde, régénère la première.
En résumé, le point de vue purement arithmétique auquel nous venons de nous placer conduit exactement aux mêmes règles que le point de vue physico-arithmétique auquel on se place presque toujours.
Finalement, et bien qu’en fait la notion de fraction ait sa source incontestable dans la recherche d’un procédé commode pour mesurer les grandeurs concrètes, on peut lui assigner, comme origine logique, la recherche d’une commodité analytique. Effectivement, si dans le monde des valeurs entières, l’addition et la multiplication sont des opérations toujours possibles, il n’en est pas de même, à beaucoup près, de la soustraction et de la division : il n’existe, par exemple, aucun entier qui, ajouté à 4, reproduise 3 ; il n’existe non plus aucun
