association, dans un ordre déterminé, de deux entiers dont le premier s’appelle numérateur et le second, essentiellement différent de zéro, dénominateur. La fraction qui a pour numérateur n et pour dénominateur d sera désignée par le symbole { n, d }.
Deux expressions fractionnaires, { n’, d’ }, { n", d"} seront dites de même valeur, si les produits entiers n’ d", n" d’ sont égaux entre eux. On démontre sans peine : 1o que deux fractions équivalentes à une même troisième sont équivalentes entre elles ; 2o que la formule générale des expressions fractionnaires équivalentes à une expression donnée { n, d } est {νt, δt}, où ν, δ, désignent les quotients de n, d par leur plus grand commun diviseur, et t un entier arbitraire (différent de zéro).
Les diverses expressions fractionnaires qui ont pour numérateur l’entier zéro sont toutes équivalentes entre elles sans l’être à aucune autre, et l’on convient de dire que leur valeur commune est nulle.
Considérons deux expressions fractionnaires dont les valeurs soient inégales, adjoignons par la pensée à chacune d’elles toutes les expressions qui lui équivalent, et désignons par G1, G2 les deux groupes ainsi obtenus. Si dans ces groupes respectifs on choisit à volonté deux expressions,
il est facile de se convaincre que l’entier u1 d2, forcément différent de l’entier u2 d1, lui est ou constamment supérieur, ou constamment inférieur, indépendamment du choix opéré dans les groupes G1, G2 : suivant qu’on se trouvera placé dans l’un ou dans l’autre cas, on dira que la valeur commune des expressions du premier groupe est supérieure ou inférieure à la valeur commune des expressions du second. On établit d’ailleurs fort aisément que si une première valeur est supérieure à une seconde, et celle-ci supérieure à une troisième, la première est supérieure à la troisième.
Notre définition de l’équivalence nous fournit de la manière la plus simple les diverses solutions du problème suivant : construire h
par M. Kronecker, de Berlin, qui ramène la notion de nombre irrationnel à celle de nombre rationnel ; le point de vue adopté par M. Méray me semble toutefois préférable, et je me suis efforcé de l’améliorer encore, en modifiant dans un sens qui m’a paru avantageux la définition des fractions arithmétiques, celle de l’équivalence des variantes qualifiées, la notion de valeur infinitésimale, etc.
