Le premier numéro de la Revue de Métaphysique et de Morale contient un article extrêmement remarquable de M. Couturat sur la 2e Année philosophique de M. Pillon et particulièrement sur l’étude de M. Renouvier relative à la géométrie non euclidienne. Il est un point où la réponse de M. Couturat à M. Renouvier nous paraît appeler un complément, et ce point est de la plus grande portée, car il s’agit de la relativité des grandeurs géométriques.
Un espace non euclidien ne renferme pas de figures semblables, ce qui a permis à Gauss et à ses successeurs de dire que les dimensions ont une valeur absolue. Comme l’indique M. Renouvier, ce caractère de la grandeur apparaît dans la proposition fondamentale de Lobatschewsky aux termes de laquelle l’ « angle de parallélisme » est fonction de l’éloignement du point et de la droite considérés (proposition n° 16).
Autant que M. Renouvier, nous avons été choqué tout d’abord de telles énonciations ; mais, ainsi que nous croyons l’avoir montré dans un article sur la Géométrie générale, libéralement inséré par M. Renouvier dans la Critique philosophique[1], un examen approfondi de la question permet de reconnaître que l’absence de figures semblables ne contredit aucunement le principe de la relativité des grandeurs. Sans rentrer dans une discussion détaillée, nous rappellerons simplement que, si la proposition de Lobatschewsky contient, sous la forme qu’il a donnée à son exposition, l’affirmation du caractère absolu des grandeurs, cela tient à ce qu’il a dissimulé l’existence d’un paramètre qui est lui-même une grandeur spatiale et à laquelle tout est rapporté. Bolyai, en mettant ce paramètre en évidence, a évité de prêter aux mêmes interprétations fâcheuses.
Mais, si les grandeurs n’ont qu’une valeur relative, la géométrie générale ne doit pas donner au problème des mondes semblables, selon l’expression
- ↑ 1889, 2e semestre.
